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1、 高新一中八年级数学下册自学导案（19） 课题：分解因式小结与复习一、本章知识结构图 分解因式的意义：基本概念及与整式乘法的关系。分解因式 提公因式法： 关键是确定公因式 运用公式法 平方差公式：a2b2=(ab)(ab) 完全平方公式：a22abb2=(ab) 2 二、基本知识点回顾1、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。这一概念的特点是：（1）多项式因式分解的结果一定是积的形式；（2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）；（3）各因式要分解到不能再分为止（本章，只在有理数范围内研究因式分解）。例如：下列从左到右的变形是否为分解因式？(1)（x+3）=x+6 x +9
2、（2）x-2x+3=x（x-2）+3（3）xy-1=（xy+1）（xy-1）（4）x+1=x（x+）（5）2ab=2aaab 2分解因式与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如 整式乘法 整式乘法m（a+b-c） ma+mb-mc （a+b）（a-b） a2-b2 因式分解 因式分解知道了这种区别和联系，就可以（1）明了因式分解的意义；（2）把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；（3）利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。3、我们把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因
3、式。例如：的公因式为 ；的公因式为 4、因式分解的基本方法（1）提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来。（2）运用公式法：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2立方和（差）公式：a3b3=（ab）（a2ab+b2）这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。例如：（1）下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A、 B、 C、 D、 a1 c1 a2 c2 （2）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）图1A、 B、 C、 D、（3）十字相乘法：用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。ax2
4、+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）就是说：a分解成a1、a2；c分解成c1、c2，将a1，a2，c1，c2排列成如图1， 若按斜线交叉相乘，再相加正好得a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c分解因式为（a1x+c1）（a2x+c2）。（4）分组分解法：分组的原则是：把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解能在各组之间进行，并且一直进行到底。评注：分组分解法的关键是要掌握几种方法（提公因式法、运用公式法或十字相乘法）后，能纵观全局，在分组时就预见到下一步因式分解的可能性。没有对前面三种方法的熟练掌握，分组分解就无从下手，
5、不掌握分组的思想，前面学过的方法，用起来就会有很大的局限性。 以上四种基本方法是彼此有联系的，并不是一个多项式就固定只能用一种方法分解因式。5、因式分解的一般步骤： 把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行， （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式或十字相乘法来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组方法来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。三、精典例题例1、分解因式： (1) 16x2-4y2 (2)-3ax2+6ax-3a (3) (x-y)2-(y-x) （4）16x2-4y2 （5）a4
6、-5a2b2+4b4.例2、分解因式：（1）（a+b）2+2（a+b）-15 （2）4b2c2-（b2+c2-a2）2 （3）ab（c2+d2）+cd（a2+b2）； （4）（ax+by）2+（bx-ay）2 （5） （6） （7）；例3、求证：（1）两个连续奇数的平方差是8的倍数；（2）两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和。例4、利用因式分解说明：能被140整除。例5、（1）已知a、b、c分别为ABC的三边，求证：。（2）ABC的三边a,有如下关系式：-caab-bc，求证这个三角形是等腰三角形例6、（1）分解因式，求m、n的值。（2）若是一个完全平方式，求k的值。例7 已知a+b=1，求代数式的值。例8、化简4x2 -4x+3 - 4 x2 +2x+2 +13x+6。 当x=2010时，求4x2 -4x+3 - 4 x2 +2x+2 +13x+6的值。例9、分解因式
