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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状和尺寸的最优设计方案。问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得与关系的解析解分别为、，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结果吻合效果较好。问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用
2、拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验一、问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该
3、是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的
4、关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。二、模型假设1各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；2易拉罐的容积是一定的；3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；4易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.31。三、符号说明：规划的目标函数；：易拉罐的表面积；：易拉罐的体积；：正圆柱体形易拉罐底面的半径；：圆台上表面的半径；：圆台下表面的半径；：易拉罐侧面的高度；：易拉罐上顶的厚度；：易拉罐圆台部的厚度；：易拉罐侧面的厚度；：易拉罐底面的厚度；：圆台的母线长度；：
5、易拉罐焊缝的长度；：易拉罐所材料量；：为各部分的系数；：为各部分的系数；：为各部分的系数；：易拉罐的各种压强；：易拉罐底的弧面面积；：易拉罐底的搭接角；：圆台的高；：易拉罐的美观度；：易拉罐底面的圆弧角四、模型分析问题一：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度问题二： 对于一个体积给定的正圆柱体，最优设计应该考虑材料最省，可以分为易拉罐各点罐壁厚度相同和各点罐壁厚度不同这两种情况。因此，最优设计可以通过建立以用料最省、焊缝最短为目标函数，以体积一定为约束条件的规划模型予以解决。具体地可以按以下步骤求解其最优设计：首先，考虑最简单的情
6、况：易拉罐各点罐壁厚度相同。将表面积的大小作为目标函数，建立非线性规划模型一，求解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径和高的比值）；然后，考虑易拉罐各点罐壁厚度不同。以用料最少作为目标函数，建立模型二，通过拉格朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量。我们将焊缝的长短也作为目标函数之一，在模型二的基础上建立模型三，同样通过拉格朗日乘数法求解最优尺寸；最后，为了验证模型求解的结果是否准确，我们考虑把问题一所得的数据代入进行检验，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。问题三：易拉罐的纵断面上部是圆台，下部是正圆柱体，对于这一
7、设计，同样按照问题二的分析方法，逐步求解易拉罐的最优尺寸，依次建立模型四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法求解。为验证求解结果是否正确，把实际数据代入模型进行检验。问题四：日常生活中，面对同样的饮料，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。因此，在满足用料最省的前提下，我们引入黄金分割和压强，在兼顾二者的前提下建立优化模型。具体地，我们可以从以下几个方面来考虑：（一）增加美观度，引入黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。（二）考虑压强变化所引起的底面弧度变化，一方面使得用料最省，另一方面对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。（三）考虑改变易拉罐的材料，例如可以使用纸质材料，使得更环保，
8、更安全。 最终作出新型易拉罐的设计图。问题五： 根据学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述建模的含义，以及它的关键步骤和难点。五、模型建立1. 问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形图1 各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐由图1可知：易拉罐的容积为.易拉罐的表面积为因此，建立以表面积最小为目标函数，以体积一定作为约束条件的非线性规划模型，即模型一：（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐上、下底面，侧面的厚度不同，导致用料量也不相同。根据材料的用量与其体积成正比，那么在容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸。图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉
9、罐如图2所示，做一个易拉罐所需要的材料为：应使取得最小值。由此可得，模型二： （3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，因此，综合考虑这两方面因素，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。根据模型分析，可得焊缝长度：将焊缝的长度为时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相加。由此可以得到模型三：此模型即为求解问题二的完善模型。2. 问题三：圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形此时，以易拉罐表面积的大小来衡量尺寸的优劣。图3 各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐由图3，得圆台
10、的上面、侧面的面积为圆柱侧面的面积为圆柱底面的面积为此时易拉罐的表面积为：由于圆台的斜率为一定值0.31 ，因此得到 模型四:（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形图4有不同罐壁厚度易拉罐的圆台如图4所示，易拉罐所需材料量为：由此可得模型五: （3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝长度也尽量取到最小。焊缝长度：由此可得模型六： 模型六为求解问题三的完善模型。3问题四：自己设计的易拉罐最优形状和尺寸模型（1） 考虑美观度的情形在模型六的基础上引入美观度来描述易拉罐的外形是否美观，考虑易拉罐的直径和高度之比趋向于黄金分割点，即：，取得最小值时即为最优
11、解。由此可得模型七：（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形目前市售的易拉罐不是正圆柱体，也不仅仅将顶部变为圆台，而是上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,我们只做简单讨论。对于上拱的底面，是为了耐压，从物理角度分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表面张力有拉平液面的趋势，从而对液体产生附加压强。附加压强的方向由表面张力的方向确定，大小可以用液面内外的压强差来表示3。图5 易拉罐的底面示意图对于下表面而言，受到的压力包括三部分：第一部分是通过小液块的边线，作用在液块上的向上的表
12、面张力；第二部分力是液体内气体产生产生的作用于液块底面向下的压力；第三部分是液体本身向下的重力。设球形液面半径为，单位长度液体表面的张力为（大小即为液体的表面张力系数），则小液块边线所具有的总张力向下分量为：用表示液体内外的压强差，则小液块所受的向上的张力为：这两部分力方向相反，在平衡时大小相等，所以液体重力作用产生的压强；易拉罐内部气体压强为一定值。因此，易拉罐下表面所受到的压强为与此同时，底部的上拱必然会引起所用材料的增多图6 易拉罐的底面积示意图易拉罐的底面积为：此时所用材料量为：可得模型八： 六、模型求解1. 问题一的求解测量各种类易拉罐的高度、直径、顶面、圆台侧面、圆柱侧面、底面的厚
13、度的数据表1 10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据项目数值种类罐体直径(cm)圆台口直径(cm)罐体高度(cm)整罐高度(cm)顶盖厚度(cm)侧面厚度(cm)圆台厚度(cm)罐底厚度(cm)可口可乐6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧6.624.56210.08812.1920.04480.0110.03326.62天府百柠6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可乐6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜劲柠6.6144.54
14、810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年达6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646轻怡6.6284.55210.11812.1660.04680.01040.0326.628菠萝啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒6.6144.5510.1112.1660.04750.01070.03246.614表2 GBT 91062001中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米)
15、5名称符号公称尺寸极限偏差250mL275mL300mL335mL500mL罐体高度H90.9398.95115.2122.22167.840.38罐体外径D166.04缩颈内径D257.400.25翻边宽度B2.220.252. 问题二的求解（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型一可知：函数取最小值时，必定有，即 ， 然后利用编程，可得图7 体积一定时随变化的曲线即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根据模型二，用拉格朗日乘数法求解。首先生成新的函数，然后分别对，求偏导，并令其为0，解得：即圆柱体的高与半径之比为6时为最优尺寸。由（1）
16、、（2）可知，根据问题一中测得的实际数据可以得到：表3 检验数据表罐体高度（cm）罐体直径(cm)雪碧10.1166.6161.529 可口可乐10.0886.621.524 天府百柠10.1026.661.517 百事可乐10.1146.6181.528 七喜劲柠10.1126.6141.529 美年达10.1166.6161.529 醒目10.1146.6461.522 轻怡10.1186.6281.527 菠萝啤酒10.1086.621.527 雪花啤酒10.116.6141.529 由表3可知：所有均在此范围内，在1与3之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可以大致得出此最优值应该在1
17、.5附近。因此，实际值是合理的，而的比例关系式也符合实际情况。（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形对模型三用拉格朗日乘数法按照（2）的求解步骤求解。解得：即，此时的，关系即为最优设计尺寸。3问题三的求解(1) 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型四，通过编程求解，得到要使得表面积最小，只有，即 即圆柱体没有顶部的圆台，这显然与已知不符，因此，我们考虑用易拉罐所用材料最少为目标函数来求解。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根据模型五，用拉格朗日乘数法求解步骤求解，首先求偏导数，然后令偏导数为0解最小值得到：解之可得：化简可得：从而可求得，四者之间的关系：令，代入表1的数值，结果见表4表4
18、 与数据表（cm）(cm)雪碧2.2763.3080.04070.0413可口可乐2.2813.310.04080.0403天府百柠2.2873.330.04090.0414百事可乐2.2773.3090.04080.0412七喜劲柠2.2743.3070.04070.0419美年达2.2683.3080.04060.0411醒目2.2753.3070.04070.0414轻怡2.2763.3140.04070.0409菠萝啤酒2.2743.310.04070.041雪花啤酒2.2753.3230.04070.0403对表4中、进行配对样本检验2，结果如下：由结果可知，结果的差异性不显著，说明
19、理论值与实际值相吻合。因此，即，四者之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。（2） 易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形对模型六同样用拉格朗日乘数法得：此时解得：其余处理方法与（2）相同，同样可得关系表达式是易拉罐的尺寸最优的表达式：化简可得：因此，当，之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。4问题四的求解（1）考虑美观度的情形对模型七用拉格朗日乘数法得：即得到，的关系式，此时着重考虑接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最优尺寸。（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形模型八用拉格朗日乘数法理论上可算出给定压强下的，之间的关系式。根据模型解出新的搭接角度为4
20、5，而市售的罐底的搭接角度为7790。事实上，比较小的搭接角度能将来自罐内碳酸饮料的气压分流掉大部分。对软饮料来说，罐内最大气压可达90磅/平方英寸，分流的气压，由罐底边缘承担，罐底边缘是整个罐强度最大的部位，由5层金属粘结而成。由于搭接角度小，所以生产超级底的圆合金片下料面积比原来减少7%。另外，由于这种结构强度高，因此底的厚度可以从0.0085英寸减薄到0.0082英寸，这又可以节省约3%的用料。（3）考虑环保的情形表5 铝易拉罐和纸易拉罐比较表铝易拉罐纸易拉罐投资生产线资金1700万200万最小生产批量2000万2万原材料需进口稻,麦草纸浆能耗高能耗,国家已禁止发展工艺简单,低能耗,环保
21、成本约1元/只约0.30.4元/只外观外观精美外观同样精美由表5可知，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观同铝易拉罐，不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生，生产工艺简单，投资少，尤其是成本低的特点最突出，这样我们可以考虑使用纸作为易拉罐的材料推广使用。最终，我们得到新型易拉罐的设计图如下：图8 新型易拉罐剖面示意图图9 新型易拉罐的立体图既考虑美观又兼顾消费者的满意度，我们设计中部凹陷，可防滑，令，考虑节约材料，则利用模型八，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：表6 各种体积下的最优尺寸项目数值种类(cm)(cm)(cm)(cm)(cm)180ml1.7552.84
22、2.684.340.325545250ml1.963.172.994.8450.36345275ml2.0223.27253.0950.375245300ml2.083.373.185.150.38745335ml2.163.53.35.340.40245345ml2.183.533.345.40.40545355ml2.23.573.375.450.445500ml2.4743.786.110.45945以上数据可作为实际设计的参考。5问题五数学建模 魅力无限在科学领域中,数学凭借其难以抗拒的魅力成为研究者交流中使用最广泛的语言。我国著名数学家华罗庚曾说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工
23、之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。当今世界,电子技术研究成果在实际生产中的不断普及,数学建模作为一条将数学与实际联系起来的纽带也随之应运而生。流年似水,经过一年的学习我们认识到：数学模型,就是用数学语言模拟现实,即把事物所在的系统的主要特征、主要关系，用数学语言概括地、近似地表达成一种数学框架，它是对客观事物的空间形式和数量关系的反映或近似反映。而所谓的数学建模就是构造数学模型的过程,即用数学语言公式、符号、图表等刻画和描述实际问题,再经过一系列的数学处理得到定量或定性的结果,以供人们作分析、预报、决策和控制。实际生活中问题往往涉及众多因素，其中的数学奥妙不是摆在那里等着去解决
24、，而是蕴涵于暗处等着去分析。因此，首先应结合实际作出合理化的假设，简化、提炼问题，然后用数学工具、方法建立数学模型，这是解决问题的关键，也是难点，而在数学模型的基础上，通常还要处理大量的数据才能解决模型问题，如何处理数据也是问题求解的难点。此时，计算机编程起到了重要作用，为解决实际问题开辟了广阔的道路。然而，求解出模型并非就万事大吉了，因为数学模型只能近似地刻画和描述实际问题，所以模型是否贴近实际这就需要接受检验。否则，数学模型的建立与解答即使再正确也只能是空中楼阁而毫无实际意义。恰似本文问题二的求解，在不同优化标准下的设计方案是丰富多彩的。亲身实践启示我们，只要多观察身边的事物，奇思妙想，就
25、会发现各行各业和数学都保持着千丝万缕的联系。数学建模的精神一直在流淌，并且源远流长，渊远不息，滋润着一代又一代学子。数学并不是和枯燥无味的文字符号打交道的抽象演绎体系，相反，它凭借着应用的广泛性以及对思维的挑战性而蕴藏着无限的魅力，等待着我们用自己的智慧去发现、去挖掘、去创造。七、模型评价与推广1. 模型的评价本文我们逐步分析了表面积大小、用料多少、焊缝长短、是否美观等因素，综合考虑建立模型，因而模型具有较强的实用性。在模型求解上，利用拉格朗日乘数法，用编程巧妙地求出函数的最优解，并利用已测量的数据对模型结果进行配对样本检验，从而验证了实际值的合理性和模型的准确性。在此基础上，我们又分析了底面
26、对液体产生的附加压强以及易拉罐材料的种类，进一步对模型进行优化，并给出了不同体积易拉罐的最优设计尺寸，可供易拉罐生产商参考。不足之处在于考虑的因素太多，使得求解模型时的计算复杂，耗费时间。2. 模型的推广 本文所设计的易拉罐也可以应用于其它罐装食物，还可以推广到其他类似行业，例如：酒业中酒瓶的设计、日用品盛装容器的设计、食品包装的设计等等。参考文献1 可口可乐罐头为什么是这种样子2李志辉 罗平，配对样本检验，SPSS for windows统计分析教程（第2版），2001年10月3胡新珉，液体的表面现象，医学物理学第六版，2004年4周文国，易拉罐的设计方案，中学数学教学，2002年第1期5中
27、国国家行业标准 GB/T9106-2001，包装容器 铝易开盖两片罐附录程序一clearclcsyms a b c z4 z5 n t r l h dm=z4*(a*pi*r2+b*pi*l*(r+t)+2*c*pi*t*h+d*pi*r2)+z5*2*pi*r-n*(pi*t2*h+8/3*0.2873*l*(r2+t2+r*t);r0=diff(m,r)t0=diff(m,t)l0=diff(m,l)h0=diff(m,h)n0=diff(m,n)程序二:clearclcsyms n r h;m=pi/3*(3.32+(r+0.01)2+3.3*(r+0.01)*(h+0.03)-pi/3
28、*h*(3.3-0.01)2+r2+r*(3.3-0.01)+. n*(pi/3*h*(3.3-0.01)2+r2+r*(3.3-0.01)-1.2272);diff(m,r)diff(m,h)diff(m,n)程序三:clearclcr1=2.275%圆台顶部的半径r2=3.307%圆台底(圆柱)的半径a=2*3*0.01*pi*2.87+0.18*pi*1.36;b=(2873/3000)*pi*1.36*(2*r1+r2);q=0.18*pi*(r1+r2);p=(2873/3000)*pi*(r1.2+r2.2+r1.*r2);z2=q/pz1=a/b程序四:clearclcclfv=30000;r=0;w=;p=;for i=1:150; r=0.3+r; s=2*pi*r2+2*v/r; w=w s; p=p r;endplot(p,w,16.8,5344.8,ro,linewidth,2);axis (0,45,0,20000);box on;set(gca,Xtick,0,Ytick,);xlabel(fontsize12bfr 半径大小);ylabel(fontsize12bfs 总的表面积);title(bfv 一 定 时 s 随 r 变 化 的 曲 线);text(20,5000,fontsize12leftarrowbfr_0 ,此点使得s最小);
