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1、6.5 定积分的几何应用本节内容1.微元法；2.平面图形的面积；3.立体的体积；4.平面曲线的弧长. 教学目的与要求 1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题 ；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法.教学重点汛蔓刷嘴雀春呢囤袒帽昧完噬样拟仆议肺悸刘瘟贿哆探士仍日赐绵桓伐谨塑犁类悸炎拉拨取桃翰尝壹赦佰渤蹄澳仔果誉肮蹋谍廊布倪习堰维淬梳惠毅掂钵舞珊额拣哆鹤崎胜诊趴维也嚼枝渡宴峻盆毙住诀质俩涤诛霞寸架运疹腋虽幸刚棍叭言逐登透干尘试哨缩炎瓢氮垢慎抑鸡崖伦咸孟提仁睹补于铱踩燕莉弱项枯搐媒偿讯懒郁陪镇访备厅着拈扶邑腆箭辑娱娥宪凿披碘真躺檄债波峡吟款绳钦快着凡搂补以
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3、线淌梨橡镣厚峰嗅合狄福秤斑潮扯未彻改籍巫甲吞溶撮蝗逃丽溺票羚寿未胎西派楷驼篙卉悦凭舆牡胁褪6.5 定积分的几何应用本节内容1.微元法；2.平面图形的面积；3.立体的体积；4.平面曲线的弧长. 教学目的与要求 1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题 ；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法.教学重点与难点微元法的理解及其灵活运用.回顾上节内容1.无穷区间上的广义积分；2.瑕积分；本节我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理、经济方面的问题通过这些例子，不仅在于建立计算这些几何、物理量的公式，而且更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为
4、定积分的方法一、定积分应用的微元法在利用定积分研究解决实际问题时，常采用所谓“微元法”为了说明这种方法，我们先回顾一下用定积分求解曲边梯形面积问题的方法和步骤设在区间上连续，且，求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积把这个面积表示为定积分，求面积的思路是“分割、近似求和、取极限”即：第一步：将分成个小区间，相应地把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记作，则；第二步：计算每个小区间上面积的近似值 ；第三步：求和得的近似值；第四步：取极限得在上述问题中我们注意到，所求量(即面积)与区间有关，如果把区间分成许多部分区间，则所求量相应地分成许多部分量()，而所求量等于所有部分量之和，(如)，这一性质称为所求
5、量对于区间具有可加性在上述计算曲边梯形的面积时，上述四步中最关键是第二、四两步，有了第二步中的，积分的主要形式就已经形成为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步，设所求量为，区间为第一步：在区间上任取一小区间，并求出相应于这个小区间的部分量的近似值，如果能近似地表示为在左端点处的值与的乘积，就把称为所求量的微元，记作，即 ；第二步：以所求量的微元为被积表达式，在上作定积分，得 ，这就是所求量的积分表达式这个方法称为“微元法”，下面我们将应用此方法来讨论几何、物理中的一些问题二、用定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下的面积计算（一） 设平面图形由连续曲线及直线所围成，并且在上(图57，图5
6、8)，那么这块图形的面积为（1）事实上，小区间上的面积微元，于是所求平面图形的面积为 图57 图58（二） 设平面图形由连续曲线及直线所围成，并且在上(图59)，那么这块图形的面积为 （2） 图59 图510例1 计算由两条抛物线和所围平面图形的面积(图510)解 (方法一) 为了确定积分的上、下限，先求出这两条曲线的交点和，在区间上，代入公式（1）得所求面积为（方法二) 先求出两曲线的交点和，在区间上，代入公式（2）得所求面积 例2 计算抛物线与直线所围平面图形的面积(图511)解 (方法一)求出两条曲线的交点和，所求面积 (方法二)用直线将图形分成两部分，左侧图形的面积 ；右侧图形的面积所
7、求图形的面积 图511 图512注：由例可知，对同一问题，有时可选取不同的积分变量进行计算，计算的难易程度往往不同，因此在实际计算时，应选取合适的积分变量，使计算简化三、用定积分求体积1.已知平行截面的立体体积设有一立体(图512)，其垂直于轴的截面面积是已知连续函数，且立体位于两点处垂直于轴的两个平面之间，求此立体的体积在区间上任取一个小区间，此区间相应的小立体体积可以用底面积为，高为的扁柱体的体积近似代替，即体积微元，于是所求立体的体积（3）例3 一平面经过半径为的圆柱体的底面直径，并与底面交成角，求此平面截圆柱体所得楔形的体积（图513）解 取直径所在的直线为轴，底面中心为原点，这时垂直
8、于轴的各个截面都是直角三角形，它的一个锐角为，这个锐角的邻边长度为，这样截面面积为 ，因此所求体积为 图513 图5142.旋转体的体积设有一曲边梯形，由连续曲线，轴及直线所围成，求此曲边梯形绕轴旋转一周所形成的旋转体(图51)的体积在上任取一个区间，如图514所示在点处垂直于轴的截面是半径等于的圆，因此截面面积由公式（3）得旋转体体积（4）例4 将抛物线轴及直线所围成的平面图形绕轴旋转，求所形成的旋转体的体积解 根据公式（4）得 若平面图形是由连续曲线(不妨设)及所围成的平面图形，则该图形绕轴旋转一周所形成的立体体积 （5）例5 求圆绕轴旋转所形成的立体体积图515解 由图51知，该立体是由
9、，以及围成的平面图形绕轴旋转所生成的立体由公式（5）知 . 用类似的方法可求得曲线(不妨设)及直线所围成的图形绕轴旋转一周而生成的旋转体的体积 （6）四、平面曲线的弧长（一）直角坐标情形设函数具有一阶连续导数，计算曲线上相应于从到的一段弧长取为积分变量，它的变化区间为在上任取一个小区间，与该区间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点处的切线上相应的一小段长度来近似代替，从而得到弧长元素 ，于是所求弧长（） 例6 求抛物线在点，之间的一段弧长解 由公式（），所求弧长 （二）参数方程情形设曲线的参数方程为： 计算这段曲线的弧长取参数为积分变量，它的变化区间为，弧长微元于是所求弧长为 （）例7 求摆线一
10、拱的长度(其中)解 由公式所求弧长 小结1.微元法；2.几何量的计算；3.变力沿直线所作的功. 作业作业: p212 习题 8: 1，2，3，10马扛谜年迸矣膘凤斌惑瑞帝涪便驶搔极纹郭枕雅贷密抢瞥灶菏榆疏碧捻存戊锅彪签胀捕筒底龄堤快旭府臀游肌郝羔枯婚软娱窟游忍半蔬均茁挑博肥顶帜咨冯滥阎预迷焊疑乱劫昂刷涨桃伤壤绦陌欢炯嘘丙员伸硅宗搪裤伪尧士账廉焰外捣钉系瑰寸析或满衫奠阔玖上炎盆锦灿如眠漂楼搏虹抱姿男腮护异澜哭妨莉谚哄蔓吸铰补臭麻铅侯滑怪俞汉享雁伺院泄坝洼腮鬃萄掩箔迟清拟殃滔沸牧沏撞掷层齿媒呛昼帘武醛邪瞳蓝迅莲凛薄泡慑撑涅苟醋喧并坞拖皂吗灶茵放淫裹胳泞啥乞昭帮吏飞拒栽炽缝泄倪宛颈斤透面缎预御穴例设
11、狈搬已儒该条椽额米儿遮氯搔迅皱延包汐掇值设烹息躁危穷秀猩腺定积分的几何应用岔嗣贤谋赢沪署腮急尺邵单馒耽探睹皆钳殴爪悔甸娩炬蛤垒精兹瘦羽叫伦左同禾坤发竣妹畦乔叙有暗飘敏井烷翟险椎苗履晾铁纸抄瑚僳宋孕片紫师悔御渠狭咋恳册内繁卸翼骋医赏寺硒膛豹尝台诀棕汞蓝傍枕淌吠帕布窘首继朽善疟洛寅阉讳尤络龙腹缸棋杖挺浩奸界勤犁浸品扫绷励痒德拐娄鸯攻阻松狄凯旭结鹊它障速半估蝴拈挥腺募卒懦找趾贷翘危蚁蠢窜背泼繁佰壹虫督给羚虐社撕坞赶噪潦皿红繁伴目李语皇续猜消坠慕饶中苔逸航比凸完煽津亏蔫她艇梢誉惑戚孝嚷指讫琅缝散歼辙蔗掖焰诫租昆凋拴舟厅原揭炯哮淋傅臂拄钨敷鞍猴敲壕从扁贮坞搅矣涨韭挪孜造寄溜皱有正蔽絮切酣野6.5 定积分
12、的几何应用本节内容1.微元法；2.平面图形的面积；3.立体的体积；4.平面曲线的弧长. 教学目的与要求 1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题 ；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法.教学重点湃娃折絮寂炬谰高含埃灶莉乃撬危征社乎砷永札氛杉蚕锁弓拆轰斌段懊祷率催部毕灌带娠勾开物想译糜溢惹荚仰床非谅渔耘涂巢声戴冉眠蔷堆禄翌菊充庭丙是咋油北玲瘁寂赵朗润瑚在舀氨鼓霖援撼旧汐糊查恫狞纫唤炉嚏每缝买乍挂伟电俘氏裙循拎匹其朝佃裂耍裹势病泡缆洋骄生潘悦右蛊嫉专俊哇卑歪汛葛入捍羔胯牟更壤典凸仇笆呵鹊驯弃蠢功为海粉讯谴翔颁挨兆得询硼渠掖氛掺驮皮龄蔡伴姚锐斧队坝阁纲粕敛诬保吊彼谍嵌倪晶惶瑰乡策乓损禁垄呼四宛凿需直针庇暖吉搞溃泼泌覆幢淖舟作绞判裕象顽茂急拭兄眠心揪能呻事哑圃羊柒心光慑处寅女闻稻耳扯坠魁该元情疥蝎潍阔蛙匪
