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1、上海市杨浦区2012届高三第二学期模拟测试（一）数学试卷（理科） 2012.3.考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是 2的展开式中的系数是 （结果用数字作答）.3若双曲线的一条渐近线方程为，则=_ 4计算： .5若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率是 .6函数的最小正周期为 .7一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动 员中
2、抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为_.8若行列式，则 9如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.测得，(9题图)米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高_米.10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（米/秒）和燃料的质量（千克）、火箭（除燃料外）的质量（千克）的关系式是.当燃料质量与火箭（除燃料外）的质量之比为 时，火箭的最大速度可达（千米/秒）11.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 (11题图)12. 设幂函数，若数列满足：，且， 则数列的通项 13. 对任
3、意一个非零复数，定义集合，设是方程的一个根，若在中任取两个不同的数，则其和为零的概率为= (结果用分数表示)14函数的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于_.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为 ( ) 16执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） . . . . (16题图)17“”是“” ( ) 充分非必要条件. 必要非充分条件.充要条件. 既非充分也非必要条件.18已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线
4、： ； ； 其中，型曲线的个数是( ) . . . . 三解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 已知关于的不等式解集为.（1）求实数的值；（2）若复数，且为纯虚数，求的值. 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 如图所示, 直四棱柱的侧棱长为, 底面是边长, 的矩形,为的中点,(1)求证: 平面；(2)求点到平面的距离.(20题图)21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设, 为奇函数
5、.（1）求函数的零点；（2）设, 若不等式在区间上恒成立, 求实数的取值范围.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“生成数列”.（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.探究：数列是否为等差数列,并说明理由.23（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题的满分6分; 满分8分. 如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.（1）求实数的
6、值；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交与.证明：记，的面积分别是.若=，求的取值范围.(23题图).上海市杨浦区2012届高三第二学期模拟测试（一） 一填空题（本大题满分56分） 2012.3.161. ； 2. 5 ； 3.理，2 ； 4.理； 5. 理；6.理； 7. 12 ； 8.理2或； 9. ； 10. ； 11 . 4；12.理； 13. ,理； 14理8；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. B ； 16. D； 17. B ； 18.C； 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 解：(1)42m20，解得m=1 (2) =
7、(cos2sin) (sin2cos)i为纯虚数所以，cos2sin0，tan=,所以，=20. (1)证明: 由, ,2分 平面, 4分 即DE垂直于平面EBC中两条相交直线,因此DE平面EBC, 7分 (2) 理解1: 结合第(1)问得，由，8分 ， ，所以， 10分 又由得 12分 故C到平面BDE的距离为 14分 解2: 如图建立直角坐标系, 则, , , 9分 因此平面EBD的一个法向量可取为,由, 得, 11分 因此C到平面BDE的距离为. （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. 解：由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f（x）（1）F（x）由0，可得2，所以，x=1，
8、即F（x）的零点为x1。（2）f1（x），在区间上，由恒成立，即恒成立，即恒成立即，所以，22. （理科）（1）解：由题意得： ； 3分. 4分（2）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 5分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 8分设数列的“生成数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以， 9分所以 ，其中.因此，数列即是数列. 10分证法二：因为 ， ， ， ， 7分 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 9分由于，根据“生成数列”的定义知，数列是的“生成数列”. 10分（3）证法一：证明：设数列,中后者是
9、前者的“生成数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 12分由（2）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 16分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 12分对于数列及其“生成数列”，因为 ， ， ， ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“生成数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列. 即 是等差数列.所以 成等差数列. 16分23（理科）: （1）由题意知：半长轴为2，则有 3分 4分（2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得， 6分设，则是上述方程的两个实根，于是。 7分又点的坐标为，所以 9分故，即，故 10分设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为 12分又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为； 14分又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此， 16分又由点的坐标可知，平方后代入上式，所以故的取值范围为 18分
