西罗定理及其应用.doc

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1、西罗定理及其应用SYLOW THEOREM AND ITS APPLICATIONS 专 业：信息与计算科学 姓 名： X X X 指 导 教 师： X X X 申请学位级别： X X 论文提交日期： XXXXXXXX 学位授予单位： XXXX大学摘 要群是认识现实世界中对称性的有力的武器，研究群的结构因此变得非常重要。由定理知道，有限群的任意一个子群的阶，一定是群的阶的因数。但是对一般有限群来说，对的任一个因数，未必有阶子群。定理给出了这个问题的肯定回答，即当因子是素数方幂时，这样的子群是存在的，同时讨论了这类子群的一些性质。利用定理可以知道群的子群的阶一定整除原来群的阶数，而定理给出素因子

2、的方幂如果整除群的阶数，那这样阶的子群一定存在，而且在群的情形，彻底给出了所有可能的群的结构。应用定理，根据群的阶因子分解式，可以得到群的子群的信息，如子群的种类、个数和共轭情况等，应用定理可以得到所需结论或证明已存在的结论。关键词：群； 有限群；定理；定理ABSTRACTGroup is a powerful weapon to recognize the real world symmetry, study group structure becomes very important. By the Lagrange theorem know,H is a subgroup for any

3、 finite group G，h is the order of the H, |G| is the order of the G, |H| must be a factor of |G| in group G, but for the general finite group G, for any order of m, G does not necessarily have a subgroup of order m. Sylow theorem gives a positive answer to this question, that is, when factors are pri

4、me powers, such a subgroup exists, and discuss some properties of these subgroups. Lagrange theorem that subgroup must divide the order of the order of the original group, but Sylow theorem gives a power of prime factors divisible group if aliquot of order number, that this subgroup of order must ex

5、ist, and in the case of abelian groups, gives completely the structure of all possible groups. Applications Sylow theorem, according to the order of group factorization, we can obtain group Sylow subgroup information, such as Sylow subgroup species, number and conjugate, etc., Sylow theorem can be a

6、pplied to obtain the desired conclusion or proof already exists conclusions.Key words: Group； Finite group； Sylow theorem； Lagrange theorem目 录1 前言11.1 彼得卢德维格梅德尔西罗11.2 选题依据及研究意义12 群的概述32.1 关于群的简要介绍32.2 子群的相关介绍72.3 陪集92.4 商群92.5 同态与同构92.6 循环群102.7 单群与的单性112.8 可解群112.9 置换群122.10 定理132.11 幂零元和幂零群142.12

7、p-群142.13 群的直积142.14 有限生成群的结构173 群在集合上的作用193.1 群在一集合上的作用的定义193.2 共轭类193.3 平移与齐性空间203.4 等价204 定理及其应用244.1 定理的阐述244.2 定理的证明244.3 定理的应用27结论33参考文献34致 谢351 前言定理是挪威数学家彼得卢德维格梅德尔西罗（1832年12月12日-1918年9月7日）在1872年获得的，证明了群论中重要的基础定理，在得知西罗的结果后，若尔当称它是“置换群中最基本的结论之一”。 定理不仅证明了在有限群中，每个子群的阶都是群的阶的因子，而对于群的阶的任何一个因子，都存在以这个因

8、子为阶的一个子群。这些定理成为了研究群论，特别是有限群论的重要工具。群的对象研究和应用决不局限于有限群的研究，它还可以广泛应用于无限群、群类理论和群类的因式分解等。1.1 彼得卢德维格梅德尔西罗西罗（P. L. Sylow），挪威数学家。1832年12月12日生于挪威克里斯蒂安尼亚（现奥斯陆）。1850年在克里斯蒂安尼亚教会学校毕业，后进入克里斯蒂安尼亚大学学习，曾获得数学竞赛金牌。1855年，他成为一名中学教师。尽管教书的职业花费了他大量的时间，但西罗还是挤出时间来研究阿贝尔的论文。在18621863学年中西罗得到了克里斯蒂安尼亚大学的临时职位，为学生讲授伽罗瓦理论和置换群。在他当年的学生中

9、，有一位后来成为著名数学家，他就是李代数和李群的创始人李（S. Lie）。从1873到1881年，西罗同李合作，编辑出版了阿贝尔著作的新版本。1902年又与别人合作出版了阿贝尔的通信集。西罗最重要的成就定理是他在1872年获得的。在得知的西罗的结果后，若尔当称它是“置换群中最基本的结论之一”。这些定理以后成为研究群论特别是有限群论的重要工具。西罗对于椭圆函数论也有贡献。1898年他从中学退休后，任克里斯蒂安尼亚大学教授，直至1918年9月7日去世。1.2 选题依据及研究意义定理不仅证明了在有限群中，每个子群的阶都是群的阶的因子，而对于群的阶的任何一个因子，都存在以这个因子为阶的一个子群。这些定

10、理成为了研究群论，特别是有限群论的重要工具。群的对象研究和应用决不局限于有限群的研究，它还可以广泛应用于无限群、群类理论和群类的因式分解等。利用群和群类中的对象，可更深入系统地研究了解群类理论中的一系列问题和群类的因式分解理论，解决一系列公开问题。在群论研究中，对象长期以来确定着群论研究的中心发展方向之一。近年来，在单群分类解决之后，可解群和群类理论得到了蓬勃发展，对象的研究出现了大量新的重要成果，它们正促进着群论和相关代数学科的发展。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研

11、究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。因而我选择了研究定理及其应用，结合相应的英文和中文文献，得出自己的一点点理解，总结完成一篇读书笔记。2 群的概述2.1 关于群的简要介绍2.1.1 什么是群设G是一个非空集合，如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法，记作ab（或称为加法，记作），而且它满足以下条件，那么G称为一个群：（1） 对于G中任意元素a,b,c有（结合律）；（2） 在G中有一个元素e，它对G中任意元素a有（存在单位元素）；（3） 对于G中任一元素a都存在G中一个元素b使（存在逆元素）。2.1.2 群的简要分类（1） 半群：设G是一个非空集合，在G上存在一个二元运算记为（乘法）。即对

12、任意的，总存在唯一的元与之对应。又该乘法满足结合律，则称G是一个半群。（2） 交换半群：若一个半群的乘法如满足交换律，则称这个半群为交换半群。（3） 么半群：如果在一个半群G中存在一个元素e，使对一切，均有，这样的半群称为么半群。（4） 群/交换群：若群G的运算满足交换律，则称G为群或交换群。（5） 有限群与无限群：一个群如果只含有有限个元素就称为有限群，否则就称为无限群。（6） 当然群：若群G的阶为1，则这个群称为当然群。2.1.3 群G的一些简单性质（1） 群G中有唯一单位元e；（2） 对群G中任一元a，其逆元唯一；（3） 对群G中任一元a有；（4） 设a,b是群G中的元素，则；（5） 对

13、群G中任意两个元素a,b，方程及在G中有唯一解；（6） 左、右消去律在群中成立。即若，则。又若，则；（7） ；（8） ；（9） ；（10） ，；2.1.4 群的阶一个群G的阶被标记为或，而一个元素的阶则标记为或。 由一个群或其内之元素的阶可以大致知道群的结构。简略地说，阶的因式分解越来复杂，这个群就会越复杂。2.1.5 群的中心设G是一个群，即C中元素与G中任意一个元素的乘法可交换，称C是G的中心。2.1.6 生成元定义：设S是群G的子群，G中包含集合S的所有子群的交称为由S生成的子群，记为。对任一包含S的G的子群H，若，则S中元素称为H的生成元。又若S是一个有限集，则H称为有限生成的子群。特

14、别若G可由一个有限集合生成，则称G是有限生成的群。2.1.7 周期定义：设a是群G的元素，若存在最小的自然数n，是，则称n是元素a的周期。e的周期为1。若不存在自然数n，使，则称a的周期为0（或称a的周期为）。一个元素a的周期用表示（有时也用表示）。命题1.设a是群G的元素，则由a生成的G的循环子群的阶恰为n。命题2.设a是群G的元素，且，若m是一个整数，且，则。2.1.8 等价关系与商集定义1.设A,B是集合，积集合的一个子集R就称为A到B的一个关系，特别的子集称为A上的一个关系。若，则称与为R相关，记为。定义2.设R是A上的一个关系，若R满足下列条件：（1） 自反性，若，则；（2） 对称性

15、，若，则；（3） 传递性，若，则；则关系R称为A上的等价关系。等价关系用表示，即表示。命题1.设R是集合A上的一个等价关系，则R决定了A的一个分划P，且由P导出的等价关系就是R。反之给定A的一个分划P，则可得到A上的一个等价关系R，且由这个等价关系R决定的A的分划就是P。证明：设R是A的等价关系，P是由上述方法的得到的分划，又记是由P决定的A的等价关系，若，则,同属于P的某个元素（等价类），于是，故。反过来若，则,同属于P的某个等价类，从而，即，由此即得。另一方面设是A的一个分划，它决定的A的等价关系记为R。再由R导出的分划记为，设，且所在的等价类为，由于，故属于某个，现只需证明即可。对中任一

16、元，有。另一方面由于是的等价类，故，于是。反之，若，则。但凡与等价的元素必须在之中，故。由此即推出，。证毕。定义3.设是集合A上的一个等价关系，A上的所有等价类的集合称为A关于等价关系的商集，记之为或。其中实际上是A的某些子集（全体等价类）的集合，中的元素是A中某个元素所在的等价类。若，则的等价类作为的元素通常记为。2.1.9 映射定义1.设A，B是两个非空集合，M是A到B的一个关系（即），若M满足下列条件：对A中任一元素a，有且只有一个B中的元素b，使，则称M是集合A到B的一个映射或映照。A称为这个映射的定义域，B称为映射的值域。对A中任一元素，有且仅有一个元素与对应。这个对应关系有时记为，

17、如把上述映射记为，则。A到B的映射简记为 (2.1.9-1)A到B的两个映射与g相等当且仅当对一切成立。定义1.设，若，则称是映上映射或是满映射。若对A中任意两个元素，均有，则称是单映射。若既是满映射又是单映射，则称是双射或一一对应。从中可以看出是满映射的充要条件是B中任一元素均在A中有原像。是单映射的充要条件是中的元素在A中只有唯一的一个原像。是双射的充要条件是B中任一元素有且只有一个原像。若是一个双射，则对B中任一元素b均有唯一的元素与之对应。定义的映射，即它将B中元素映到它（关于）的原像。这个映射称为的你映射，记为。命题1.设，为映射，则。 (2.3.9- 1)证明：对任意的,。由此即知

18、结论成立。证毕。命题2.设是映射，则（1） 是单映射的充要条件是存在，使；（2） 是满映射的充要条件是存在，使；（3） 是双射的充要条件是存在，使且；证明：（1）若是单映射，是其像，设。定义的映射如下：若，令，又因为A非空，所以至少含一个元素，对一切，令，显然我们定义了的映射且。反之若，且，则，即。这就证明了是单映射。（2） 设是满映射，是B的两个元素，现在先证明若，则。事实上，若，则与假设矛盾。这样B中元素的原像组成了A上的一个分划。在每一个中取且只取一个元素，定义的映射g如下：等于中取定的那个元素。不难看出g是的映射且满足。反过来若存在，使，设b是B中任意一个元素，则，且，即，因此是满映射

19、。（3） 由（1）和（2）即得。证毕。2.1.10 二元运算定义1.设S是一个集合，的一个映射称为S上的一个二元运算。在同一个集合上可以定义各种不同的运算。比如在Z上可以定义加法、减法、乘法等等。这些运算通常适合一定得规律。常见的规律有：结合律、交换律、分配律等。为了叙述这些规律，我们把二元运算的记法做一些简化。用表示运算，在二元运算（作为映射）下的像记为。不同的运算可用不同的记号表示。定义2.设，是集合S上的两种运算，则（1） 若对任意的，均有， (2.3.10- 1)则称运算满足结合律；（2） 若对任意的，均有， (2.3.10- 2)则称运算满足交换律；（3） 若对任意的，均有， (2.

20、3.10- 3)则称关于适合左分配律。又若，则称关于适合右分配律。同时适合左、右分配律称为适合分配律。若S上的运算适合结合律，则，我们可以把这个相同的元素记为，而省去括号。利用映射的概念，还可以将二元运算的概念作推广。比如我们可以定义所谓的n元运算为：的映射。我们还可将的映射也称为一种运算。2.2 子群的相关介绍2.2.1 子群假设是一个群，若H是G的一个非空子集且同时H与相同的二元运算*亦构成一个群，则称为 的一个子群。更精确地来说，H为G的子群若运算*在H的限制也是个在H上的群运算的话。一个群G的纯子群是指一个子群H，其为G的纯子集(即)。任一个群的当然群为只包含单位元素的子群。若H为G的

21、子群，则G有时会被称为H的“母群”。子群具有“传递性”，且对任意一个群G，G自身也可以看成是它的子群。另外，G的么元组成的子群（只含有一个元素）。这两个子群称为G的平凡子群。不是平凡的子群称为非平凡子群。命题1.设H是群G的非空子集，如果H满足下列两条件之一，则H是G的子群：子群的性质：（1） 对任意的，且；（2） 对任意的，。证明：（1）因为H是G的子集，所以H中元素的乘积显然满足结合律。又若，则，故，即。因此H是G的子群。（2）由得，即。又，若，则，即。由（1）即知H是G的子群。证毕。推论1.设H是群G的有限子集，若对任意的，均有，则H是G的子群。证明：由命题1中的（1）只需证明对任意的，

22、必属于H即可。由已知条件知，皆属于H。但是H是有限集，因此必存在，使。由消去律得，但，故。显然，这就证明了结论。证毕。命题2.群的中心必是子群。证明：设C是群G的中心，若，对任意的，则 (2.1.1- 1)又由可推出，故，由命题1即知C是G的子群。证毕。定义：设S是群G的子集，G中包含集合S的所有子群的交称为由S生成的子群，记为。其中，包含S的子群集非空，因为G本身包含S。又是G中包含S的“最小”的子群。若S本身是G的子群，则容易看出。命题3.设S是G的子集，则 (2.1.1- 2)证明：先征集合构成一子群。事实上若设，则 (2.1.1- 3)显然仍属于原集合，故它是一个子群。由这个子群包含S

23、（取，），对于一包含S的G的子群H，故。这就证明了子群，故它就是。证毕。2.2.2 正规子群设G是群，H是G的子群，若对任意的G中的元素a，总成立，则称H是群G的正规子群（或不变子群），记为。判定定理：设H是群G的子群，若对任意的，及任意的，均有（或），则H是G的正规子群。证明：只需证明即可。事实上，因此，于是。类似得，即得结论。证毕。正规子群的性质：性质1.交换群的任一子群都是正规子群。性质2.设C是G的中心，则C必是正规子群。性质3.群G的任意个正规子群的交必然是正规子群。性质4.设H是群G的子群，令，则H是N(H)的正规子群。2.2.3 换位子群对于任意的，有 (2.2.3- 1)即。元

24、素称为群G元素a，b的换位子，间记为。由所有换位子生成的子群称为G的换位子群，记为。2.3 陪集数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则为H在G中的左陪集，而为H在G中的右陪集。仅当H为正规子群时，左右陪集相同，这也是子群正规性的一个定义。如果 H不是G的正规子群，那么它的左陪集和右陪集不相等：存在G中元素 a 使得不存在符合的元素b，或者说H的左陪集构成的划分（G对H的左陪集分解）不同于H的右陪集构成的划分（G对H的右陪集分解）。右陪集（类似地左陪集）的性质：性质1.的充要条件是；性质2.；性质3.若，则。从这些性质我们可以看出G上的右陪集全体（或左陪集全体）构成了G的一个分划，且每

25、一块含有的元素相同，即等于的阶。2.4 商群定义：设G是一个群，H是G的正规子群，为H的右陪集的集合，在定义下构成的群称为G关于H的商群，记为。显然若G是交换群，则也是交换群；若G是有限群，则G的任一商群也是有限群且。设N是群G的正规子群。我们定义集合G/N是N在G中的所有左陪集的集合，就是说。在G/N上的群运算定义如上。换句话说，对于每个G/N中aN和bN，aN和bN的乘积是(aN)(bN)。这个运算是闭合的，因为 (aN)(bN) 实际上是左陪集:。N的正规性被用在了这个等式中。因为N的正规性，N在G中的左陪集和右陪集是相等的，所以G/N也可以定义为N在G中所有的右陪集的集合。因为运算是从

26、G的子集的乘积得出的，这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择)，符合结合律的，并有单位元N。G/N的元素aN的逆元是a1N。2.5 同态与同构定义：设，都是群，是的映射且对任意的，都有，则称是群到的同态。若是单映射，则称群同态是单同态；若是满映射，则称为满同态或映上同态；若是双射，则称是同构。群G到自身内的同态称为自同态，到自身上的同构称为自同构。若是同构，则记之为，称群与的同构。凡是同构的群，从运算结构上来看是一样的。平凡同态：设,是任意两个群，令为映射，这里a是的任一元素，是的么元，则是同态，这个同态称为平凡同态。同态的性质：性质1.若是群同态，则是的么元。性质2.群同态将逆元变为逆

27、元，即。性质3.是群同态，则是的子群。（子群称为在下的同态像）性质4.是群同态，是的么元，则是的正规子群，称为同态的核。性质5.同构关系是一个等价关系。性质6.设H是群G的正规子群，G到商集上的自然映射是群同态，称之为自然同态。同态核：假设,是群，是同态映射，定义集合,其中是的单位元素，称为同态核。 同态基本定理：设是群到的映上同态，则诱导出的同构，其中对一切成立。推论1.设是群同态，则。推论2.任一群同态可分解为，其中为的自然同态，为诱导出的的同构，为的包含映射（显然也是同态）。同构定理：第一同构定理：设H，N是群G的正规子群且，则。第二同构定理：设H是群G的正规子群，K是G的子群，则是K的

28、正规子群且。2.6 循环群定义：由一个元素生成的群称为循环群。如果a是循环群G的一个生成元，那么群G的元素都可以表示成a的方幂，因而循环群是交换群。下面来看循环群的子群以及判断一个群是不是循环群的条件。整数加法群Z是群换群，1是Z的一个生成元，在群Z中，取任一整数m，m的全体倍数构成一个子群mZ，mZ是由m生成的群。实际上，这样的子群就是Z的全体子群。定理1.整数加群Z的子群都是由某一非负整数m生成的循环群，对于，当且仅当，即n是m的因子。无限循环群：设G为一循环群，g是G的一个生成元，即，定义由整数加群Z到群G的同态为：，。显然是一满同态。考察的核。如果，那么为一同构，。这时G称为无限循环群

29、。定理2.无限循环群都与Z同构，它的子群正如定理1所描述的，与全体非负整数成一一对应。阶为m的循环群同构于，对于m的每个因子s都存在唯一的一个s阶子群，这个子群为。推论：设群G的元素g的阶为正整数m，于是当且仅当。对于任意正整数s，元素的阶为，这里为m与s的最大公因子。引理：设交换群G中元素g，h的阶分别为m，n，且，于是元素的阶为。定理3.设G为一有限交换群，于是在G中存在一个元素，它的阶是G中所有元素的阶的倍数。定理4.设G为一有限交换群，G为循环群的充分必要条件是对于所有正整数m，在G中满足方程的元素个数不超过m。2.7 单群与的单性定义：如果群G没有非平凡的正规子群，那么群G称为单群。

30、定理1.设G为交换群，G为单群的充分必要条件是G为素数阶的循环群。引理：每个置换都可以表示成一些对换的乘积；每个偶置换都可以表示成一些长度为3的轮换（简称3-轮换）的乘积。定理2.交错群，是单群。2.8 可解群定义：设G是一个群，如果有一正整数k使，那么G称为可解群。定理1.群G是可解的当且仅当存在一递降的子群列，其中每一个是前一个的正规子群，且商群交换，。极大的正规子群：当N是群G的正规子群时，商群的正规子群与G中包含N的正规子群时一一对应的。因之，商群是单群的充分必要条件为正规子群N不包含在另一个非平凡的正规子群之中，即不存在G的正规子群，而，具有这个性质的正规子群称为极大的。这就是说，只

31、要商群不是单群，我们总可以找到一个G的正规子群，使。定理2.有限群G是可解的充分必要条件为存在一个递降的子群列，其中商群，都是素数阶的循环群。2.9 置换群变换群：设S是一个集合，我们已经知道S上所有一一对应全体组成一群。这个群称为集合S上的变换群，它的任意一个子群也称为S上的变换群。定理：任一群G必同构于某个集合上的变换群。证明：令（作为集合），若，定义的映射， ， (2.9- 1)若，则，由群的消去律得，因此是单映射。还是满映射，事实上对任意的，这样我们得到了S上的一个一一对应，称为由g决定的G的左平移。设，则T是S上所有一一对应构成的变换群的子集。不难验证T是一个子群。作G到T的映射：，

32、 (2.9- 2)则，是群同态。映射显然是映上的。又若，则对任意的，因此。这表明是单射，从而是群同态。证毕。推论1.任一有限群都同构于某个置换群。推论2.任一置换也可以表示成若干个对换的乘积且对换个数的奇偶性保持不变。推论3.的阶为，称是n次交错群。命题1.任一置换均可表示为若干个互不相交的循环之积且不同的循环因子可交换。这种表示方式在不计次序时是唯一确定的。证明：设，是S上的置换。定义S中两元素之间的关系如下：，当且仅当存在使。 (2.9- 3)不难证明是一个等价关系且每个等价类的元素与某个循环的元素一致，于是S中元素可由分成若干个不相交子集的并。显然每个子集的元素均可表示为这些循环的积且不

33、同的循环因子是可以交换得。唯一性也容易证明。事实上S中任一元素k总落在某个循环之中，作，这就是k所在的那个循环。再对S中其余元素作类似的步骤。证毕。命题2.记为n次对称群中所有偶置换全体，则是的指数为2的正规子群。证明：偶置换之积仍是偶置换，故是子群。又中奇置换数正好等于偶置换数，故，而指数为2的子群都是正规子群。证毕。命题3.（1） ；（2） ；（3） 。证明：(1).(2) .(3) 令，则。类似的，由（1）知。证毕。性质1.若与无相同元素，则。 (2.9- 4)性质2.。 (2.9- 5)性质3.k-循环（即含有k个元的循环）的周期为k。性质4.。 (2.9- 6)性质5.设是一个置换，

34、则。 (2.9- 7)性质6.任一循环均可表示为若干个对换之积（不一定是不相交的对换），虽然这种表示方式不唯一，但是在所有表示中所含对换个数的奇偶性不变。定义1.如果一个置换能表示为奇数个对换的乘积则称之为奇置换，否则称之为偶置换。2.10 定理定理：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集)，因此H的阶(元素个数)整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作。推论1.若G是有限群，则G中任一元素的周期必是的因子。推论

35、2.若G是有限群，则对任意的，。推论3.若，p是素数，则G是循环群。2.11 幂零元和幂零群幂零元：在抽象代数中，某个环R的一个元素x是一个幂零元，当且仅当存在一个正整数n，使得等于加法中的零元素。 幂零群：首先先定义群G的降中央列，其为一系列的群G = A0、A1、A2、.、Ai，其中每个Ai+1 = Ai, G为所有由Ai中与x及G中的y所算出的所有交换子x,y所产生出来的G的子群。因此，A1=G,G=G1为G的导群，而A2 = G1, G，以此类推。若G为可换的，则G,G = E，即为其当然子群。将此一概念延伸，则可定义一个群G为幂零的，若其存在一自然数n使得An为当然的。若n为可使得A

36、n的最小自然数，则称此一群G为n级幂零。每一个阿贝尔群都是1级幂零，除了当然群之外，其为0级幂零。若一个群为至少m级幂零，则有时称其为零m群。做为证明此一名词幂零使用的正当性，先取一幂零群G及其内一元素g并定义一函数f: G G 为f(x) = x,g。则这一函数为幂零的，因为其存在一自然数n使得fnf的n次递回将每一个G内的元素x映射至单位元素。幂零群的性质：当每个接续的商群Zi+1/Zi皆为可换的，其序列为有限个的，且每一个幂零群都为一具有较简单结构的可解群。每一个n级幂零群的子群均为至少n级幂零；另外，若f为n级幂零群的同态，f的值域则为至少n级幂零的。2.12 p-群定义：设G为有限群

37、，如果G的阶为某个素数p的方幂，则称G是一个p-群。 给定一质数p，p-群即是指一个其每个元素都有p的次方阶的周期群。亦即，对每个群内的元素g，都存在一个正整数n使得g的pn次方等于其单位元素。若G是有限的，则其会和G自身的阶为p的次方之叙述相等价。关于有限p-群的结构已知道了许多，其中第一个使用类方程的标准结论为一个非当然有限p-群的中心不可能为一个当然子群。一个有pn阶的p-群会包含着有pi阶的子群，其中。更一般性地，每一个有限p-群都会是幂零群，且因此都会是可解群。2.13 群的直积定理1.设，是两个群，在中定义乘法：，则关于这种乘法构成群，并称是和的直积。定义1.设是n个群，定义G中乘

38、法：， (2.13- 1)则G在此乘法下构成的群称为的外直积。定义2.设G是一个群，是G的n个正规子群且满足下列条件：（1） ；（2） ;则称G是的内直积。定理2.设是群G的正规子群，则G是的内直积的充要条件是：（1） ；（2） G中元素用中元素的乘积表示唯一，即若，； (2.13- 2)则必有。证明：设G是的内直积，我们只需证明（2）成立。首先我们注意到这样一个事实：若，则。事实上， ， (2.13- 3)即 ，（因为）。同理，故，。现设 ， (2.13- 4)则 ， (2.13- 5)因此，即。消去得。再用同样的方法可得。反过来，若（1）、（2）成立，要证对成立。令，则 (2.13- 6)

39、即 (2.13- 7)由表示唯一性即得。证毕。推论1.设是群G的正规子群，则G是的内直积的充要条件是：（1） ；（2） 若，则。证明：我们只要证明由推论的（2）可推出定理2中的（2）即可。首先注意到若，则，于是，即。再由的正规性，同上可证若，则对一切，均成立，因此可得：， (2.13- 8)于是，。证毕。定理3.设G是一群且G是它的正规子群的内直积，又 是的外直积，则G与T同构。证明：作的映射：， (2.13- 9)显然是映上的，又 ， (2.13- 10)因此是群同态。又若，即，即得，因此是单同态。这证明了是同构。证毕。定理4.设G是群，A,B是G的两个子群，并满足（1） ，（2） ，（3）

40、 ，则。证明：由（2）可将G表示为。而。作G到的对应关系因为，所以是映射且是单射，也是满射。对任何有，由条件（1）和（3）以及2.2.2中关于正规子群的性质，A和B的元素可交换，故有。所以 。证毕。2.14 有限生成群的结构定义：设G是一个群，如果存在G中的元素使G中任意一个元素g都可以表示成， (2.14- 1)其中，则称G为一个有限生成群，为G的生成元。如果对于任何，上面表达式中由g唯一确定，则称G为一个有限生成的自由群，而成为它的一组基。若G是一个以为基的有限生成的自由群，可以作映射， (2.14- 2)， (2.14- 3)很容易验证是一个同构。因此有限生成的自由群是有限多份的直和。命

41、题1.设p是一个素数，G是一个阶的群，则G是一些循环群的直和，满足， (2.14- 4)其中分别为的阶。命题2.设G是一个有限群，其中是两两不同的素数，是自然数。则G是n个子群的直和，其中是阶群。定理1.任何一个有限生成的群G是一些循环群的直和。证明：可以假定。令T是G中所有有限阶元素所构成的子集，则T是G的正规子群。令。则K仍是有限生成的群，且。我们来证明K中没有有限阶的非零元素。假定。使对某个自然数成立。则，于是存在自然数k使。这表明，即。K的生成元集合并不是唯一的，但我们总可以选一组生成元是n达到最小。假定使， (2.14- 5)设，则， (2.14- 6)由于K中没有有限阶的非零元素，

42、得， (2.14- 7)而。存在整系数的n阶方阵其第一行是且A的行列式等于1.令， (2.14- 8)则 (2.14- 9)于是 (2.14- 10)从而K由生成，矛盾。所以K是以为一组基的自由群。3 群在集合上的作用3.1 群在一集合上的作用的定义定义：设G是一个群，X是一非空集合。如果给了一个映射，满足条件：对所有的，1） ；2） ;那么我们就说，f决定了群G在集合X上的作用。根据定义，如果群G作用在集合X上，那么G的每个元素g都对应集合X的一个到自身的映射。由定义中的条件，我们有 ， (3.1- 1)这就说明，G中每个元素g对应的映射都是集合X的到自身的一一对应，即，且。显然，是群G到群

43、S(X)的一个同态映射。反过来，如果给了一个同态映射，并且定义，对， (3.1- 2)那么就决定了群G在集合X上的作用。由此，我们也可以用群G到S(X)的同态来定义群G在集合X上的作用。3.2 共轭类共轭：设G是一个群，取，定义，对。 (3.2- 1)这就是群上的共轭变换。在共轭变换下，元素称为与元素x共轭。同样，子群称为与子群H共轭。共轭是等价关系，因此将G分割为等价类（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类和相等当且仅当a和b共轭，否则不相交）。包含元素a属于G的等价类是并称为a的共轭类。G的类数是共轭类的个数。若G为有限群，则上面的内容，加上拉格朗日定理，可以得出如下结论：每个共轭类

44、的元素个数整除G的阶。 更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足。我们可以定义为所有共轭于S的子集T的集合。一个常用的定理是，给定任意子集S，(S的正规化子)的指数等于的次数:,这是因为，如果g和h属于G，则当且仅当属于，换句话说，当且仅当g和h属于的同一个陪集。3.3 平移与齐性空间左平移：设G是一个群，取，定义，对。 (3.3- 1)这就决定了群G在集合X上的作用。这就是左平移。右平移：设G是一个群，取，定义，对， (3.3- 2)这就决定了群G在集合X上的作用。这就是右平移。齐性空间：设G是一个群，G按子群H分成左陪集，令X为全体左陪集所成的集合。