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1、3.1数列(两课时)教学设计一、教材分析1.在教材中的地位与作用“数列”是中学数学的重要内容之一。不仅在历年的高考中占有一定的比重，而且在实际生活中也经常要用到数列的一些知识。例如：储蓄、分期付款中的有关计算就要用到数列知识。本节的内容，一方面是前面函数知识的延伸及应用，可以使学生加深对函数概念的理解；另一方面也可以为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。所以本节在教材中起到了“承上启下”的作用。本节的学习中，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合前面的知识解决数列中的一些问题，有助于学生数学能力的提高。2内容与要求本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法。关于数列
2、的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在函数观点下的定义，指出：“从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”。这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
3、递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担。考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。3教材的编排及例习题功能分析（1）第一课时：引言中的故事、生活实际、生产实践中的实例数列概念数列记号
4、通项公式函数认识图象表示数列分类例题练习例1是公式的直接运用，已知数列的通项公式，写出数列的某些项。根据数列通项公式的意义，只要将序号代替公式中的n，就可以求出相应的项。配套练习是P120练习1，2例2是公式的归纳发现，给出数列的前几项，要求写出使这几项能够满足的一个通项公式。解决这类问题，关键是找出这些项与它们的序号的关系。目的是为了培养学生观察和归纳的能力。实际上，这类问题的解答常常不是唯一的，例如（1）题中an=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+2n-1都是数列的通项公式。要求学生得出一个使所给的各项都能满足的、最简捷的公式就可以了。配套练习是P120练习3，4(2)第二课时引言
5、中的故事的数列另一种数列给出方法递推公式例题练习例3是已知数列的递推公式,逐一写出数列的前5项.目的是让学生亲自体验递推的过程.领会这一给出数列的重要方法.配套练习是P122练习1,2,34学生认知分析积极的因素：概念的形成对学生的思维能力要求不高，容易接受，容易激发兴趣。不利的因素：从特殊到一般的观察、归纳，能力要求较高，学生接受会有一定的困难。5学情分析高一学生刚从初中进入高中，学习方式和思维习惯还不是很适应，缺乏全面的、深刻的思维能力6教学重点（1）第一课时：数列的概念，通项公式（2）第二课时：递推公式7教学难点（1） 第一课时：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式难点的突破:激发学生
6、的兴趣,激励学生去探索,由各项的特点,去找出各项共同的构成规律. 找出这些项与相应的项数（即序号）之间的对应关系。教师可引导一些常见的切入点：观察各项的分子、各项的分母、正负相间、各项与一些特殊的数(比如平方数、数的乘方)的关系，（2） 第二课时：理解递推公式与通项公式的关系难点的突破:递推公式是给出数列的一种重要方法, 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.要通过实例发现:递推公式不是通项公式,它不能通过代入序号n就可以立刻求出an的值；而已知通项公式也不一定就能得到相邻两项（或n项）之间的递推关系.让学生真正理解递推公式与通项公式的关系.8教学
7、目标知识目标：第一课时：（1）形成并掌握数列及其有关概念，识记数列的表示和分类，了解数列通项公式的意义。（2）数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意一项。对比较简单的数列，使学生能根据数列的前几项观察归纳出数列的通项公式，并通过数列与函数的比较加深对数列的认识。第二课时：（1）.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；（2）会根据数列的递推公式写出数列的前几项。能力目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能力，同时加深理解数学知识之间相互渗透性的思想。情感目标：通过渗透函数、方程思想，培养学生的思维能力，使学生在民主、和谐的活动中感受学习的乐趣。通过介绍数列与函数
8、间存在的特殊到一般关系，向学生进行辩证唯物主义思想教育。31数列（第1课时）教学过程1、创设情景，激发兴趣，引入新课（1）电脑动画演示：国际象棋棋盘格子中放有麦粒的示意图，从而得到一组数：1，2，22，23263 叙述故事：给你一张报纸，你可以用它登上月球，你相信吗？只要不断地将报纸对折42次以后，报纸的厚度就可以达到月球和地球的距离。设计意图：以实例引入概念，再配以电脑动画，叙述小故事，增强了感性认识，调动学生学习新知识的积极性。（2）投影演示，再观察以下几列数：引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，263。某班学生的学号由小到大排成的一列数：1，2，3，4
9、，50。从1984年到2004年，中国体育健儿参加奥运会每届所得的金牌数：15，5，16，16，28，32某次活动，在1km长的路段，从起点开始，每隔10m放置一个垃圾筒，由近及远各筒与起点的距离排成一列数：0，10，20，30，1000。放射性物质衰变，设原质量为1，则各年的剩留量依次为：1，0.84，0.842，0.843，2、归纳抽象，形成概念（1）学生尝试叙述数列的定义：启发学生观察上述几组数据后，进行归纳总结定义：按一定次序排成的一列数，叫数列，便于培养学生的抽象概括能力。举例1：1，3，5，7与7，5，3，1 这两个数列有何区别？举例2：-1，1，-1，1，是不是一个数列？设计意图
10、：使学生注意把数列中的数和集合中的元素区分开来：数列中的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的。数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现。进一步加深学生对数列定义的理解。（2）数列的项及项的表示方法： an（3）数列的表示方法：可写成：a1,a2,a3,，an或简记为：an，注意an与an的区别上述（2）（3）采用指导阅读法（书P118页第7段第8段），对an与an的区别进行集体讨论归纳。3、通项公式的探索（1） 观察归纳定义由学生观察引例中数列的项与它在数列中的位置（即项的序号）间的关系：实物投影：序号 1 2 3 64 项 1= 21-1 2=22-1 22 = 23-1 263=
11、264-1 从而可看出项与项的序号之间可用一个公式：an =2n-1表示，该公式叫数列的通项公式，然后归纳抽象出数列的通项公式的定义（略）。（2）用函数观点看待数列：这是一个难点，讲解必须清楚、透彻。数列可看作是以自然数集或它的有限子集为定义域的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值（这是数列的本质），其图象是一群孤立的点，画图（棋盘麦粒这个数列）设计意图：加深对函数概念的理解。（3）数列的分类：有穷与无穷，（可增补递增、递减、常数、摆动）学生口答：数列分别归于哪类数列？4、讲解例题设计例题：根据通项公式写出前几项并会判断某个数是否为该数列中的项；根据数列的前几项写出一个通项公式。例
12、1，根据下列数列an的通项公式，写出它的前5项（1） an= （2）an=（-1）n n设计意图：使学生正确掌握通项与序号的关系。变式训练：问是否为数列（1）中的项？设计意图：使学生明确方程思想是解决数列问题的重要方法。例2，写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7（2），（3），设计意图：引导学生进行解题后反思，对完善学生的认知结构是十分必要。写通项公式时，就是要去发现an与n的关系，对各项进行多角度、多层次观察，找出这些项与相应的项数（即序号）之间的对应关系。（注：遇到分数，可分别观察分子组的数列特征与分母组成的数列特征；若为正负相间的项，则可用-1的奇
13、次幂或偶次幂进行符号交换，有时也可根据相邻的项，适当调整有关的表达式。）说明根据数列的前几项写出的通项公式可能不唯一，例如（1）题中an=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+2n-1都是数列的通项公式。5、练习巩固投影演示：（1） 写出数列1，-1，1，-1，的一个通项公式（2） 是否所有数列都有通项公式？上述（1）的设计意图：an=（-1）n+1也可写成an= 1 （当n为奇数时）-1 （当n为偶数时）且nN*, 进一步说明根据数列的前几项写出的通项公式可能不唯一。（2）：引例就没有通项公式。通过这些练习，使学生能及时消化，及时巩固所学内容。6、归纳小结由学生试着总结本节课所学内容，老
14、师适当补充，可以训练学生的收敛思维，有助于完善学生的思维结构。（1） 数列及有关概念。（2） 根据数列的通项公式求任意一项，并能判断某数是否为该数列中的项。（3） 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。（4） 数列与函数的关系7、课后作业：（1）课本P110/习题3.1/1，2（2）复习看书P118-120设计意图：进一步巩固所学内容。8、板书设计9、课后反思31数列（第2课时）教学过程一、复习：上节学习知识点如下 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须
15、不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.数列的一般形式： 或简记为，其中是数列的第n项。 数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5数列的图像都是一群孤立的点.6数列分类有穷与无穷；递增、递减、常数、摆动。二、创设情景，激发兴趣，引入新课知识都来源于实践，最后还要应用于生活，用其来解决一些实际问题。1.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：141+3第2层钢管数为5；即：
16、252+3第3层钢管数为6；即：363+3第4层钢管数为7；即：474+3第5层钢管数为8；即：585+3第6层钢管数为9；即：696+3第7层钢管数为10；即：7107+3若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列an，且an=n+3(1n7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数，这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即a2=a1+1；a3=a2+1；a4=a3+1,依此类推：an=
17、an-1+1 （2n7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要 。2.引言中的数列还可以用如下方法给出：第一个格子里的麦粒数是1，从第二个格子起，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，也就是说a1=1,a2=2=2a1,a3=4=2a2,a64=263=2a63。即有a1=1， an=2an-1(2n64)三、归纳抽象，形成概念由以上两例得出的关系式,教师引导学生提炼概念：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。说明：递推公式也是给出数列的一种方法。如下数
18、字排列的一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：an=an-1+an-2 (n3，nN*)四、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知： 设计意图:让学生亲自体验由给定的初值项和递推公式可以逐一写出数列的项来， 从而认识到递推公式也是给出数列的一种方法。例2已知数列中，3），试写出数列的前4项.解：由已知得 设计意图:认识递推也可以是相邻几项之间的关系。例3（1）已知， 写出前5项，并猜想（2）已知， 写出前5项，并猜想 设计意图：培养归纳、猜想的数学思想，揭示递推公式与
19、通项公式的关系，同时为后面学习等差、等比数列作铺垫。五、练习巩固1 写出下数列的前5项：设计意图：体验由给定的初值项和递推公式可以逐一写出数列的项。2 已知1, (nN)，(nN)。求。设计意图：递推公式不是通项公式,它不能通过代入序号5就可以立刻求出a5的值，进一步明确递推公式与通项公式各自的特点和异同。六、小结 由学生一起归纳小结本节课学习内容：1递推公式及其用法；2通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. 七、课后作业： （1）课本P110/习题3.1/3，4（2）复习看书P121-122设计意图：进一步巩固所学内容。八、板书设计（略）九、课后反思
