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1、物理中的数学方法几何法在物体平衡问题中的应用一教学案例分析 运用数学解决物理问题的能力，是中学物理教学的要求之一，也是在当前世界科学技术日新月异迅猛发展的形势下对中学物理提出的新的要求。中学物理中常见的数学方法有代数法几何法三角法和图线法等。在本节内容中，主要讲述几何法在解物体平衡问题中变力问题时的应用。一 教学目标1 知识目标（1） 了解力的矢量性，掌握矢量的图形运算（2） 掌握矢量三角形在力的合成分解和三力平衡时的应用（3） 掌握用几何图像法解决物体平衡时力的变化问题2 能力目标通过本节课的学习，进一步的认识数学方法在物理中的应用。并且培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。3 情感目标通
2、过本节课的学习，让学生认识到数学方法在物理中的重要性，并进一步理解物理学科与数学学科之间的关系。二 教学设计思想本节课是开在高三第一轮复习时的，故学生已经掌握了用平行四边形定则来进行力的合成和力的分解，并且已经学会用正交分解法力的合成与分解法来解决一些力学问题。所以开设这样一节用矢量三角形来解题的课，来进一步的提高学生在物体平衡问题中的解题能力。三 教学过程设计1 矢量三角形在力的合成和分解中的应用首先通过在对已知知识的回顾中，提出新的想法。例1 画出图1中的F1与F2的合力F1F2图1 解答：根据平行四边形法则，我们可以作出它们的合力，如下图所示。 F1 F F2因为力即有大小又有方向，所以
3、是矢量。问：思考平行四边形定则，能想到些什么？学生不难得出：力的合成与矢量的加法一样。问：那么力的合成与矢量的加法之间有么有什么联系呢？引导学生得出：力和矢量一样，都既有大小又有方向，物理上讲的求两个力的合力在数学中的含义是求两个矢量的矢量和。当物体受到共点力而处于平衡状态时，可以得到物体所受的合力为零，从数学上讲，相当于这些力的矢量和为零。所以可以通过对力求矢量和的方法来求合力。因为矢量可以平移，所以不难发现，其实F1F2和它们的合力F可以构成一个三角形（如下图所示）。F1 F F2将这个三角形单独画出来，我们会发现两个分力首尾相接，合力从一个分力的首指向另一个分力的尾。F1 F2 F所以不
4、难想到，我们可以借用矢量三角形来进行力的合成，方法如下：首先对其中的一个力进行平移，将这个力与另一个力首尾相接，然后将两个力的首和尾连接起来便为这两个力的合力（如下图所示）。F1F2F1 F2F1 F2F当然此方法与平行四边形法则其实是同样的方法，但是却更能加深学生对力的矢量性的理解，这样便于他们对几何法在物理中应用的掌握。例2 对右图中小球所受的重力根据作用效果进行分解（接触面都为光滑）：解答：首先判断重力所产生的作用效果，为对绳子的拉力与对斜面的压力，所以得到重力两个分力的方向，然后再图中用虚线画出这两个方向，注意一条线接触合力的首，另外一条接触合力的尾。应用矢量三角形，可得两个分力大小（
5、如下图所示）：GGG1G2通过用矢量三角形对力进行分解，来加深学生对矢量三角形的理解。让学生能够学会将一个物理问题抽象成一个数学问题。下面通过几道实际的问题，来继续学习这样一种方法。A O B C 2 三力平衡时的矢量三角形应用例3如右图，AOBOCO为三根相同的绳子，物体处于静止，逐渐增加物体质量，那根绳子首先断裂。解答：根据题意，首先对O点进行受力分析，因为三力平衡，所以FA和FB的合力与FC两力平衡，所以FAFBFC三个力可以构建一个矢量三角形。（如图所示） FB FBFA FA FA F合 FC FBFC FC FC从图中，不难发现，当三个力处于平衡时，对这三个力进行矢量平移便可以构建
6、一个矢量三角形，而且这三个力分别首尾相接，这其实也可以说明三个力里的任何两个力的合力与另外一个力大小相等方向相反。通过对三力平衡的讲解，能让学生更加深刻的体会到讲物理问题抽象成数学问题后，所带来的方便。3 运用矢量三角形解题A O B因为在矢量三角形里，三角形的边长表示了力的大小，所以我们可以通过求解三角形边长来相应的求解出各个力的大小。那么在几何三角形中可以用到的方法都可以用在对合力分力或者三力平很问题的求解上。比如说正弦定理，余弦定理，相似三角形，勾股定理等等。接下去，先来介绍直接研究三角形图像的变化来判断力的变化问题。例4如图所示，小球O在两根细绳的作用下保持静止，如果此时将B点逐渐移高
7、，并且同时保持小球的位置不变（OB绳相应变长），那么两根绳子受到的拉力将如何改变？问：在解题之前首先应该注意哪些问题？在将物理问题抽象成数学问题时，需要做哪些工作？ 通过对学生的提问，让学生明白用数学方法来处理物理问题的一般过程。使学生学会对一些简单的问题用数学建立模型。解答：首先确定小球O为研究对象，然后对其进行受力分析。可知小球O受到重力和两根绳对它的拉力FA和FB。根据三力平衡时的矢量三角形，将FA和FB进行矢量平移，与G构成一个矢量三角形（如下图所示）。FA FB O FB FA GG FC问：观察所构建的矢量三角形，并且指出题目中的各个条件在这个三角形里表示什么？ 解答：构建完矢量三
8、角形后，便已经将一个力学问题抽象成了一个数学的几何问题。问题中FA与FB的变化已经转化为了求三角形边长的变化问题。根据题意，已知物体重力不变，所以三角形中G的大小和方向都不变，又因为A和O点位置都不变，所以可以确定FA的方向不变。从题目中不难发现已知的改变量只有FB的方向（与重力的夹角越来越小），所以根据这些条件，对三角形进行变形便可得出结论，FA越来越小，FB先变大后变小（解题过程如下图所示）。FB FB FA FAFA G G G1 2O 通过这道题目，可以看到矢量三角形在解决研究某些条件改变时力的变化问题非常的方便快捷。并且让学生了解这样的一个解题过程，首先对问题进行分析判断，然后画出其
9、受力图，再将受力图转变为数学上的三角形问题。最后通过对三角形的解答得出最后的结果。这道题研究的是三角形中一条边方向变化时的情况，下面几题研究另外的几种变化情况。并让学生用新的方法进行思考。例5如图所示，在验证平行四边形定则的实验时，已知此时连着弹簧秤1的细绳与橡皮筋反向延长线夹角为，连着弹簧秤2的细绳与橡皮筋反向延长线夹角为。+=90O。如果保持橡皮筋节点位置不变，在不改变弹簧秤1示数大小的情况下，减小，那么弹簧称2示数的大小和角应该怎么改变？ 解答：以节点O为研究对象，O点在三个拉力作用下处于平衡状态，根据三力平衡可知这三个力可以构成一个矢量三角形。F F2 F1 F F O F2F1 F2
10、 F1根据已知条件可知，F的大小方向都不变，F1的大小不变，但是变小。根据条件，可以得知F1的首部在一个圆弧上移动，尾部指向F的首部（如上图所示）。由此图不难得出结论，F2在变小，也在变小。通过上面两题的练习，可以得出这类题目的一半步骤。1 先由问题确定研究对象，判断研究对象的运动状态2 然后对物体进行受力分析，如果为三力平衡，则直接构建矢量三角形。如果不是，则进行力的合成或者分解来构建矢量三角形。3 将题目中已知的量映射到三角形中，在判断哪些边或角为不变量，哪些为变量。再通过对变量的作图，得出最后结论。一般情况下，变量都为一个。但是有时也会出现多个变量的情况，不过对于解题过程来说都是一样的。
11、如下题：LO例6在工地中，搬运工人常借助于图中的装置来向高楼搬运物体。为了使物体不碰撞楼房边缘，要确保掉物体得绳与楼房距离L不变。问物体在搬运过程中，两名工人的拉力F1和F2分别怎么变？ (已知下面工人的位置不变动，物体不需要搬运到楼顶) 解答：首先确定研究对象为O点，然后根据题意可知O点处于平衡状态。对O点受力分析可知O点受到三个力，其中F3与物体重力的大小和方向都相同。然后根据三力平衡构建矢量三角形（如下图所示）F1 F3 F2 F1 F1 F3F2 F3 F2当物体逐渐被往上拉时，物体的重力不会改变，所以F3的大小和方向都不变。但是F1和F2的方向大小都在改变。由于L不变我们可以得到F1与竖直方向夹角在变大，而F2与竖直方向夹角在变小。在图像中改变这两个夹角，便可以很方便的得到答案。F1和F2都在变大（如上图所示）。四 课后反思因为本课程中直接得到矢量三角形的方法较为新颖，可能有些学生不能理解，在这种情况下，要告诉他们其实用平时所用的力的分解或者合成的方法同样可以达到这样的结果，并且通过对力的分解图中两个分力与合力所构成的三角形的研究，发现这个三角形与直接对三个力进行矢量平移得到的三角形是一样的。从而让他们认识到这种方法的重点在于将物理问题转化为数学问题，最终将三力平衡时的三个力归到一个三角形中。至于用何种方法找到这个三角形，其实是没有关系的。
