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1、竖直平面内的圆周运动问题分析竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.（1）如图4-21所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4-21临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力.即.上式中的是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度.能过最高点的条件：（此时绳或轨道对球产生拉力F或压力FN）.不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）.（2）如图4-22所示，有物体支撑的小球在竖直平面内
2、做圆周运动过最高点的情况：图4-22临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0图4-22甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：当0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FNmg.当0 FN 0.当=时，FN0.当时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.图4-22乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即FN =mg.当0v时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg FN 0.当时，FN0.当时，管的内
3、壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.一、竖直平面圆周运动的最大高度分析O R v0例1、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道半径为R，轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲量使其在瞬间得到一个水平初速，若大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同下列说法中正确的是A如果，则小球能够上升的最大高度等于R/2B如果，则小球能够上升的最大高度小于3R/2C如果，则小球能够上升的最大高度等于2RO R v0A B C D如果，则小球能够上升的最大高度等于2R1、ABD【解析】在竖直平面内圆环轨道内侧运动的小球，只可能在与圆心等高的B点上方离开轨道，在B
4、点下方运动，无论速度多大，都不会离开轨道，因此B点下方速度可以为零，恰能上升到B点，则，A项小球不通上升到B点，因此满足，得，A正确；当小球能通过轨道最高点时，速度应满足，而，得，C错D对；当时，小球在BC之间离开轨道做斜上抛运动，在轨迹最高点时速度大于零，不满足，即上升的最大高度比小，B正确。例2（2011安徽理综卷第17题） 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径。现将一
5、物体沿与水平面成角的方向以速度0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是A. B.C. D.【解析】：斜抛出去的物体到达最高点的速度沿水平方向，大小为0cos，加速度为a=g，由向心加速度公式，a=v2/，解得轨迹最高点P处的曲率半径是=，选项C正确。【答案】： C二、复合场的圆周运动Em，qLO例3如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则MgEq=mv02/L，得，故小球在竖直
6、平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度 例4 如图1048所示，半径为r的绝缘光滑圆环固定的竖直平面内，环上套有一个质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，珠子所受电场力的大小等于其重力的大小，A 图1048r将珠子从环上最低位置A由静止释放，那么珠子所能获得的最大动能为多少？解析：本题是带电体在重力和电场力共同作用下的运动问题此题的处理方法较多，但关键是分析确定动能最大的位置，然后运用力学中的方法求解 图1049ArmgEqNB珠子在电场力Eq、重力mg和弹力N的作用下沿环运动，运动到如图1049所示位置时，动能最大因为Eqmg，所以=450设珠子的最大动能为EK，由动能定理
7、得： Eqrsinmg(r-rcos)EK解得：EKmgr(1) 思考与拓宽： 在A点给珠子一个多大的初速度，能使它在竖直平面内做圆周运动？这时珠子对光滑圆环的最大作用力是多大？（答案：,6mg）三、圆周运动的能量问题F r O 【调研5】如图所示，一个被绳子牵引的小球在光滑水平板上以速度=1.0m/s做匀速圆周运动。运动半径r=30cm。现迅速松手使绳子放长20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动。求：(1)实现这一过渡所需要的时间。 (2)小球在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力F2是原来绳子对小球的牵引力F1的多少倍?【解析】松手后小球沿速度方向做匀速直
8、线运动，如图所示B v2v1vr O A 绳子被拉紧瞬间，绳子的拉力对小球产生冲量，使小球沿绳子方向的速度立即减小到零，速度变为，且，解得【方法点拔】本题从一个轨道到另一个轨道的时间，思路上要明确了曲线运动的速度方向是切线方向，问题的突破口即可找到。而进入到第二个轨道的瞬间，拉力作用下导致速度发生突变，故要明确速度必须分解才能作为第二个轨道的速度。v0O1OR【例6】一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是柔软不可伸长的今把质点从O点的正上方离O点的距离为R的O1点以水平的速度v0 抛出，如图所示。试求；（1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？（2
9、）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？v0O1ORR【解析】（1）第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图所示。则水平方向v0tRsin，竖直方向gt2RRcos，其中v0联立解得：t，（2）第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图所示。由于绳不可伸长，故绳绷直时，v0损失，质点仅有速度v，且vgtvvvv 0O第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为v，根据机械能守恒守律有：mv2mv2mgR设此时绳对质点的拉力为T，则Tmgm联立解得：Tmg来源:学_科_网【学法指导】本题若不认真思考容易错认为小球做圆周运动，实际
10、上分为平抛运动和圆周运动。考查平抛运动、机械能守恒定律、牛顿第二定律和圆周运动的向心力等知识点，侧重对物理过程分析的考查，由于绳子不可伸长，当绳绷直时，沿绳子方向的速度由于受到绳子拉力立即减小为零是分析的难点。特别注意此类问题往往在转折点有机械能损失，如绳子绷直瞬间、非弹性碰撞瞬间等。Av0BCR2R例7、在水平地面A处以初速度v0抛出一小球，恰好水平经过光滑的半圆轨道的最低点B，已知半圆轨道半径R0.2m，B点离地面的高度也为R，A点到B点的水平距离为2R，重力加速度g10m/s2 ，求（1）小球从A运动到B的时间；（2）小球能否到达半圆轨道的最高点C.【解析】（1）小球从A到B运动过程中，
11、竖直方向作竖直上抛运动，则：Rgt2，解得t0.2s（2）水平方向匀速运动，2Rvxt竖直方向：vygt来源:学科网ZXXK由：v0从A到C运动过程中，设到达C点速度为v，由机械能守恒定律：3mgRmv02mv2联立以上式子解得v0，故无法通过最高点C。例8.如图所示, 物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动, 且板始终保持水平, 位置、在同一水平高度上, 则. A.物体在位置、时受到的弹力都大于重力B.物体在位置、时受到的弹力都小于重力C.物体在位置时受到的弹力大于重力, 在位置时受到的弹力小于重力D.物体在位置时受到的弹力小于重力, 在位置时受到的弹力大于重力解析: 在、两位置加速度都指向圆心, 对加速度在水平方向和竖直方向进行正交分解, 竖直方向加速度都向下, 失重. 故选B.答案: B
