高中数学常见最值问题及解题策略毕业论文.doc

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1、目 录1 引言02文献综述12.1国内研究现状12.2国内研究现状评价12.3提出问题23 高中数学常见最值问题及解题策略23.1无理函数的最值问题23.2三角函数的最值问题43.3 数列的最值问题63.4 平面向量的最值问题103.5 圆锥曲线的最值问题113.6具有几何意义的最值问题133.7几个特殊类型函数的最值问题163.8用特殊方法求一类函数的最值问题234. 结论234.1主要发现244.2启示244.3局限性244.4努力的方向24参考文献251 引言最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇

2、到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%23%从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各

3、个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导2文献综述2.1国内研究现状对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文15中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文6通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文7讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献8针对解析式具有几何意义的函数的最值

4、巧妙求法方法进行了归纳总结；文9给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文10对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文11对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文12介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文13给出了20052009年中最新五年高考真题及其详解；文1415介绍了函数最值的概念及其求解方法；文16给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值问题的方法2.2国内研究现状评价国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常用求解方法归纳比较全面系统但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题高

5、考很多最值问题都是要综合应用相关知识的概念、性质、定理才可解决现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基本最值问题的求解策略2.3提出问题由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题方法“精”、“巧”、“练”而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的求解，最值问题的求解方法还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困难因此，本文将通过查阅相关资料，站在高考的角度，对高中数学常见最值问题及解题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略，为学生的备考和教师的教学提供相

6、应的指导3高中数学常见最值问题及解题策略最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点尤其在高考命题中，它是必不可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相当大的比例其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力解决这类问题涉及的知识面较宽，要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的内在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效3.1无理函数的最值问题 求形如的最值此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法和求导法但在求解过程中这些方

7、法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对常用最值求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方案进行求解而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔细观察解析式，从而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题例1求的最小值.解 令,显然有意义,有,则,（当时等号成立）当时，所以评析该题根据解析式的特征合理变形后，采用分析法利用不等式的性质进行解答本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时候取等号的条件的一致性，否则没有最值）例2 求 的最小值解 令，设，则，且，有当且仅当时函数取得最小值当时，所以评析采用复数法，利用复数模的性质，把

8、代数式转化为复数模的关系进行求解求二元无理式的最值二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它的解题方法不少，但是解答过程非常复杂繁琐，计算容易出错而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解定理1 设，则（当且仅当时等号成立）例3 若，求+的最小值.解 令,根据定理得,227125111)21(22=+-+yx当且仅当，时取得最小值.当时,所以评析该无理函数求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛变量法16更为巧妙，但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求，否则求解将会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息3.2三角函数的最值问题在高考试卷中，求解三角函数的最

9、值问题的题目出现的非常频繁，几乎每年都会出现，占高考分数的它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用其难度大，很多学生对此类问题“一筹莫展”其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性质，牢记公式，能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，然后根据它的性质、定理逐步击破，便可解决问题因此，在解决三角函数最值问题时，关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用例4（2008年全国卷） 若动直线与函数和的图像分别交于、两点，则的最大值为（）解 ,根据三角函数的性质可知，当时， 故 选评析本

10、题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用例5（2008年全国卷） 设的内角、所对的边长为、，且（）求的值（）求的最小值解 （）由正弦定理知，,由题意得,解得（）由（）得，则、都是锐角，于是所以 ，且当时，上式取等号，所以 的最大值为评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础例6（2008年四川卷） 求函数的最大值与最小值解 由得由于函数在中的最值为，故当时，当时 评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂

11、，无法解决因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力3.3数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式例7（2009年安徽卷） 已知为等差数列，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）（21） （20） （19） （18）解 由于数列为等

12、差数列，则，有，则 ，根据数列的前项和公式,显然当时取得最大值评析本题主要考查学生对公式的应用，学生只要有较强的观察能力、思维能力，结合使用等差数列的通项公式和前项和公式就可以求解例8(2009年四川卷) 设数列的前项和为，对任意的正整数都有成立，记（）求数列的通项公式（）记，设数列的前项和为求证：对任意的正整数都有（）设数列 的前项和为，已知正实数满足：对任意的正整数，恒成立，求的最小值解 （）当时， ，则又 ，有，即所以，数列成等比数列，其首相，则，所以（）由（）知，则 又 ，有当时，当时 （）由（）知一方面 ，已知恒成立，取为大于1的奇数时，设，则 有即对一切大于1的奇数 恒成立所以否则

13、只对满足的正奇数成立，矛盾另一方面，当时对一切的正整数都有恒成立，事实上，对任意的正整数都有当为偶数时，设，则，当为奇数时，设，则 ，所以，对一切正整数都有综上所述，正实数的最小值为4评析本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力，要求学生有较强的综合解题能力3.4平面向量的最值问题在考查平面向量的最值问题中，一般结合三角函数进行考查，题型多以选择题、填空题和解答题的形式出现，考生需要深刻理解平面向量的概念、性质和数量积与向量积的几何意义，灵活运用向量的各种性质，有较强的运算和论证能力便可解决问题对于这类题型，学生首先要根据题目

14、的已知条件，利用向量的性质灵活变形，进而利用数量积或向量积便可求解例9（2009年安徽卷） 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。若，其中，则的最大值是（）图1:例9的示意图解 在两边分别作向量积得 （1） （2）（1）+（2）得因为所以的最大值为2评析本题主要考查平面向量的数量积与向量积的几何意义，灵活性大3.5圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题是一种难度较大的题型，很多考生对于该类问题经常会丢分，而该类问题的分值比较高，大约占高考分数的左右它考查的范围比较广，多以解答题的形式出现，考查学生对椭圆、抛物线的几何性质的理解，对直线与椭圆、直线与抛物线

15、的位置关系等基础知识的掌握程度，考查学生的解析几何的基本思想方法和综合解题能力针对这类题型，学生首先要充分理解圆锥曲线的概念、性质、定理，然后再结合题目的已知条件综合运用相关知识进行求解例10（2009年浙江卷） 已知椭圆：的右顶点为A（1,0），过 的焦点且垂直长轴的弦长为1（）求椭圆的方程（）设点P在抛物线：上，在点P处的切线与交于点M，N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解 （）由题意得则 因此，所求的椭圆方程为（）如图2，图2:例10的示意图设则抛物线在点处的切线斜率为 ，直线的方程为 ，将上式代入椭圆的方程中 得 ，即，（3）因为直线与椭圆有两个不同的交点所以(

16、3)中的（4）设线段的中点的横坐标为，则，设线段的中点的横坐标为，则，由题意得 ，即 （5）由（5）式中的，得或当时，则不等式（3）成立，所以当时代入方程（5）得将代入不等式（4）成立，所以评析此题考查的内容非常广泛，考查了椭圆、抛物线的几何性质，也考查了圆锥曲线的位置关系同时也考查了分类思想和不等式的性质等，综合能力较强3.6具有几何意义的最值问题求函数最值的方法比较多，但当所求函数具有某种几何意义时，求其最值用数形结合的方法比较灵活巧妙8可把求函数的最值转化为求直线斜率、直线截距、两点间的距离等最值问题用数形结合的方法解赋有几何意义的解析式的函数的最值，它兼有数的严谨与形的直观之长，利用它

17、使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，它是优化解题过程的重要途径之一其转化的关键是要有较强的转化意识包含“以形助数”和“以数解形”两方面以形助数”可以使抽象的概念和解析式直观化、形象化；“以数解形”可以使图形的性质更丰富、更准确、更深刻用数形结合法解题的一般步骤： 第一步，先把已知条件与待求结论的代数式（或量）都化成形； 第二步，观察图形，寻找解题方案； 第三步，求解得出结论转化为求直线斜率的最值问题例11 求函数的最值解 令知点的轨迹为一抛物线弧，其抛物线二端点为，显然，定点分别与二端点构成的二直线斜率产生函数的最大值和最小值图3:例11的示意图所以， 故，转化为求两点间的距离的最值问题例1

18、28 求的最值.解 在 时当即时，设，动点，则（、共线时取等号），且 不平行于轴，即必与轴相交.设交点为，就是使取得最大值的点，如图4 图4:例12的示意图对直线：当, 时，有，在或且时在或且时评析这里用几何中的距离公式，把问题转化为“在直线上求一点，使该点到两已知点的距离之差（和）最大（最小）”的问题求解.转化为求直线截距的最值问题例13 求函数的最值解 函数的定义域，令，则消去得，其中令，即故函数的最值转化为求直线的截距的最值.如图5图5:例13的示意图显然，过点的直线的截距最小，且最小值为，直线与椭圆相切时直线的 截距最大，且最大值为3故，3.7几个特殊类型函数的最值问题以下几个类型的函

19、数的解题方法非常独特，按正常思维解答所得结果往往与正确答案差距很大学生要在这类题上获胜，必须对特殊题型的特殊方法进行归纳总结文9已给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果，但由于这类问题的重要性，本文将对这三类特殊类型函数的最值问题进行相关整理，以便引起学生对这三类题型的重视求型的最小值问题情形1 对于求的最小值，其中，是一个正常数，且解 （通常的解法）设,则，上述两个不等号中的等式同时成立，当且仅当解之得于是 例14 求的最小值. 解 令，则,以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅当解之得于是 评析该题若直接使用基本不等式进行求解，结果为2，而正确答案是3情形2 对于求型的最小值.解 （通常

20、的解法）令,则,上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得 于是 . 例15 求的最小值.解 令，则，上面的两个不等式同时成立，当且仅解之得 于是 求的最小值问题待添加的隐藏文字内容3情形1 对于求的最小值解 （通常的解法）令，则,上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得于是 例16 求的最小值.解 令，则,上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得于是 情形2 对于求（且）解 （通常的解法）令，则,上面的两个不等式同时成立，当且仅当 解之得 于是 例17 求的值域解 令，则,上面的两个不等式同时成立，当且仅当 解之得于是 求型的最小值问题.情形1 对于求的最小值.解 （通常的解法）令，则,上面的

21、两个不等式同时成立，当且仅当解之得于是例18 的最小值解 定义域为，由得令，上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得 于是 情形2 对于求的最小值解 （通常的解法）令，则，上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得于是例19 已知，求的取值范围解 ，令，则，上面的两个不等式同时成立，当且仅当解之得于是 所以的取值范围是3.8用特殊方法求一类函数的最值问题此类函数不能运用基本不等式求解它的最值问题，必须利用相关的定理，使用其结论10才可以使求解过程简便、容易利用其结论解题时，必须注意限制条件，若限制条件不满足定理所需条件则不能直接使用其结论进行求解否则将无法寻求到准确答案定理2 设初等函数在区间上

22、恒有，为正常数，则当且仅当在上取最小值时，函数在上取最小值例20（1997年全国高考题） 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度V(千米/时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元（）把全程运输成本y元表示为速度V(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域（）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （）运输成本为，由于速度不得超过C千米/时，所以因此，这个函数的定义域为（）令，显然，当且仅当取最小值时，全程运输成本y最小，由定理知，在区间上，仅当最小时，最小若，则当，最

23、小若，则当V=C时最小所以为使全程运输成本y最小当时，行驶速度应是，当时，行驶速度应是4.结论4.1主要发现本文对近几年高中数学最值问题的求解方法进行探讨，给出了高考数学中最值问题的具体方法和求解过程，研究了高考数学中经常出现的无理函数的最值问题、三角函数的最值问题、数列的最值问题、平面向量的最值问题和圆锥曲线的最值问题以及一般联赛题中会出现的三类特殊类型函数的最值问题从方法上讲，它涉及到的知识面广，难度大，技巧性强，方法灵活多变，很多考生难以把握，使用常用最值求解方法无法求解，需根据函数本身所具有的特点以及相关知识所涉及到的概念、性质、定理才可进行求解；从能力上讲，它要求学生在充分掌握基础知

24、识的同时，对常用求解方法较为熟悉，能准确恰当地选择最优解题方案，有较强的观察能力、分析能力、计算能力和解决问题的能力本文的探讨有利于考生进一步了解高考数学中最值问题的求解方法，使高考学生在复习过程中，对准重点，突破难点，训练到位为学生的备考和教师的教学提供相应的指导4.2启示通过对近几年高考数学中与最值问题有关的高考试题的分析，在最值问题的专题复习中，应重视对相关知识所涉及到的基本概念、基本性质、基本定理、基本方法的复习和基本能力的提高，尤其是观察能力、分析能力和运算能力的培养和训练.4.3局限性本文探讨了近几年高中数学中需用相关知识的概念、性质、定理才可以求解的最值问题的解题策略由于本人还未

25、真正走入教学实践，未能将理论应用于实际教学中，尤其是无理函数、数列和几个特殊类型函数的最值问题的求解方法灵活多变，它在考察基础知识的同时，也不断加强了对能力的考察且高考最值问题常考常新，形式变化多样，难以掌握因此，本文的探讨还存在一定的局限性4.4努力的方向最值问题是高中数学的重要内容，也是每年高考必考的内容，且常考常新，能力的要求不断地提高，在今后的学习和研究中，我将结合自身教学实践，加强学生对基础的知识的掌握，继续对每年的全国各省市的高考数学试题中的最值问题的求解作深入的探讨，使最值问题的求解方法更系统、更完善，以此弥补本文的不足参考文献1姜继学最值问题的求解方法J数理化学习（初中版），2

26、006，（07）：27-292王全庆求多元函数最值的常用方法J廊坊师范学院学报（自然科学版），2008，（04）：21-233 晨旭最大值、最小值问题的初等解法J数学教学研究，1995，（08）：24-274戴志祥解“希望杯”最值问题的一种策略J数理天地（高中版），2004，(07)：21-235刘俊，付本路，姚玉平初等数学解题教学研究M山东：中国石油大学出版社，2009： 1-2506周之夫谈一类无理函数最值的求法J数学教学研究，1994，（06）：33-347孙建斌一类二元函数最值问题的一种解题策略J中学教研（数学），2004，（11）：19-228侯守一用数形结合求函数最值J数学教学研究

27、，1996，（01）：19-209沈建平，糜冠兴三类最小值问题的统一解法及一般结果J数学通报.，1999，(03)：15-1710刘汉顶关于一类函数最小值问题的一种处理方法J 数学通讯，1999，（04）：1011侯仰古对关于一类函数最小值问题的一种处理方法的一点补充J数学通讯，1999，(08)：3112沈丙申运用均值定理求最值的八种方法J四川教育学院学报，2007，（06）：616213李海平，白慧鑫2005-2009年最新五年高考真题汇编详解M拉萨：西藏人民出版社，2009：1-6514人民教育出版社中学数学室编著全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修）M北京：人民教育出版社，2004：128-13115刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义M第四版北京：高等教育出版社，2003：248-25316罗建中求解一类二元函数最值问题的松弛变量法J中学教研（数学），2004，（07）：21-22