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1、导数的应用函数的最大值与最小值（1）,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:如果在x0附近的左侧 右侧,那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧,那么,f(x0)是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,3.在某些实际问题中,我们所关心的往往是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,前课复习,如何用导数来解决函数的最大值、最小值问题？,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小
2、值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,连续函数的最大值和最小值定理,如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在闭区间 a,b上必有最大值和最小值。,新课引入,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的
3、最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,新课教学,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如
4、果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.,新课教学,例 求函数 y=x4-2x2+5在区间-2,2 上的最大值与最小值。,13,13,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,故函数的最大值为13,最小值为4.,例题讲解,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在4,4 上的最大值为 f(4)=76，最小值为 f(1)=5,解:(1)由 f(x)=3x+6x9=0,(2)区间4,4 端点处的,得x1=3，x2=1,函数值为f(3)=27,f(1)=5,函数值为f(4)=20,f(4)
5、=76,例题讲解,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,最大值 f(1)=3，最小值 f(3)=61,最大值 f(3/4)=5/4，最小值 f(5)=5+,课堂练习,最大值 f(/2)=/2，最小值 f(/2)=/2,例:求函数 在区间-1,3上的最大值与最小值.,解:,令,得,相应的函数值为:,又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0,比较得,f(x)在点 处取得最大值在点 处取得最小值,例题讲解,练习:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在0,1上的最大值.,解:,令,解得,在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是,练习:求函数f(x)=
6、2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,课堂练习,练习：P132,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,注：如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,课堂小结,补充1:设,函数 的最 大值为1,最
7、小值为,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以,补充例题,补充2:设p1,0 x1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.,说明:由于f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值,因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.,解:,令,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.,而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1.,所以f(x)的最小值为,最大值为1.,从而函数f(x)的值域为,补充例题,
