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1、2016年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1计算： =2设复数z满足（34i）z=5（i是虚数单位），则z=3若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+ya=0的两侧，则a的取值范围是4函数y=cos2x，x0，的递增区间为5如图是一个算法流程图，则输出的k的值是6抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是7一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为8关于 的函数f
2、（）=cos22xcos1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为9如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为10已知双曲线x2=1（m0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为11已知ABC外接圆O的半径为2，且，|=|，则=12（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2+y2x=0的参数方程为13已知数列an满足a1=81，an=（kN*），则数列an的前n项和Sn的最大值为14设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2b）0对任意x0，+）恒成立，则a2b=二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4
3、题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15下列不等式一定成立的是（）Alg（x2+）lgx（x0）Bsinx+2（xkx，kZ）Cx2+12|x|（xR）D（xR）16在极坐标系中圆=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A=0（R）和cos=2B=（R）和cos=2C=（R）和cos=1D=0（R）和cos=117若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则g（1）的值为（）A1B3C2D218袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球
4、的最大号码数为，则E等于（）A4B4.5C4.75D5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知F1，F2分别是椭圆C： =1（其中ab0）的左、右焦点，椭圆C过点（，1）且与抛物线y2=8x有一个公共的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度20设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是
5、线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由21如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km测得tanMON=3，OA=6km以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQOM，且PQ=6km），游轮无法靠近求游轮在水上旅游线AB航行时离景点
6、P最近的点C的坐标22已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（cI），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点（1）判断函数f（x）=在区间（0，+）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x（0，），证明f（x）=+1在区间（0，）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围23已知数列an满足an=3an1+3n（n2，nN*），首项a1=3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）数列bn满足bn=log3，记数列的前n
7、项和为Tn，A是ABC的内角，若sinAcosA对于任意nN*恒成立，求角A的取值范围2016年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1计算： =frac112【考点】极限及其运算【分析】化简=，从而求得【解答】解：=；故答案为：2设复数z满足（34i）z=5（i是虚数单位），则z=frac35+frac45【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（34i）z=5，（3+4i）（34i）z=5（3+4i
8、），25z=5（3+4i），z=故答案为：3若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+ya=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+ya=0的两侧，所以（a）（1+1a）0，由此能求出a的取值范围【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+ya=0的两侧，所以（a）（1+1a）0，解得0a2，故答案为：（0，2）4函数y=cos2x，x0，的递增区间为frac2，【考点】复合三角函数的单调性【分析】先由整体法解2k+2x2k+2可得函数的所有单调递增区间，取在x0，的即可【解答】解：由2k+2x2k+2可解得k+x
9、k+，kZ，故函数y=cos2x的递增区间为k+，k+，kZ，又x0，函数的单调递增区间为：，故答案为：，5如图是一个算法流程图，则输出的k的值是5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可得进入循环的条件为不满足条件k24k0，模拟程序的运行结果，即可得到输出的k值【解答】解：模拟执行程序，可得k=1不满足条件k24k0，执行循环体，k=2不满足条件k24k0，执行循环体，k=3不满足条件k24k0，执行循环体，k=4不满足条件k24k0，执行循环体，k=5满足条件k24k0，退出循环，输出k的值为5故答案为：56抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是frac34【考点】
10、抛物线的简单性质【分析】由抛物线方程，求出焦点F（，0）设M（x0，y0），由|MF|=1结合两点的距离公式，列式并解之即可得到点M的横坐标【解答】解：抛物线方程为y2=x，抛物线的焦点F（，0）设点M（x0，y0），得|MF|=1将y02=x0代入，得 +x0=1，解之得x0=（舍负）故答案为：7一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为frac1112【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红
11、球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，故概率为故答案为：8关于 的函数f（）=cos22xcos1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为leftbeginarrayl2x&x02x&x0endarrayright.【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】将函数配方，得到对称轴为x，再由cos1，1，判断对称轴与区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值【解答】解：f（）=cos22xcos1=（cosx）21x2，cos1
12、，1，当x0时，f（）的最大值为cos=1时f（）max=（1x）21x2=2x，当x0时，f（）的最大值为cos=1时f（）max=（1x）21x2=2x，M（x）=故答案为：9如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】作出棱锥的高PO，则O为底面中心，作OEAB于E，根据侧面积计算PE，利用勾股定理计算PO，带入体积公式计算体积【解答】解：过P作底面ABCD的垂线PO，则O为底面正方形ABCD的中心，过O作OEAB于E，连结PE则OE=PO平面ABCD，AB平面ABCD，POAB，又ABOB，PO平面POE，OE平面POE，P
13、OOE=O，AB平面POE，PE平面POE，ABPE正四棱锥的侧面积S侧=4SPAB=4=8，解得PE=2PO=1正四棱锥的体积V=S正方形ABCDPO=（2）21=4故答案为：410已知双曲线x2=1（m0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为（2，4）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆没有公共点，可得dr，解不等式可得m的范围，进而得到所求范围【解答】解：双曲线x2=1（m0）的渐近线为y=mx，圆x2+（y+2）2=1的圆心为（0，2），半径为1，由直线和圆没有公共点，可得dr，即为1，解得0m，双曲线
14、x2=1（m0）的焦距为：2c=2（2，4）故答案为：（2，4）11已知ABC外接圆O的半径为2，且，|=|，则=12【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，三角形ABC为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果【解答】解：如图所示，ABC的外接圆的半径为2，且，（）+（）=2，+=2+2=，O为BC的中点，即ABAC；又|=|，ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理得，AC=2，则=|cosACB=24=12故答案为：1212（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2+y2x=0的参数
15、方程为leftbeginarraylx=cos2y=cossinendarrayright.，R，且frac2【考点】圆的参数方程【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程【解答】解：将圆方程化为（x）2+y2=，可得半径r=，OP=2rcos=cos，x=OPcos=cos2，y=OPsin=sincos，则圆的参数方程为，R，且故答案为：，R，且13已知数列an满足a1=81，an=（kN*），则数列an的前n项和Sn的最大值为127【考点】数列的函数特性【分析】数列an满足a1=81，an=（kN*），可得n=2k（kN
16、*）时，a2k=1+log3a2k1；n=2k+1时a2k+1=因此a2k+1=，a2k=1+a2k2于是数列an的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为1分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出【解答】解：数列an满足a1=81，an=（kN*），n=2k（kN*）时，a2k=1+log3a2k1，a2=3；n=2k+1时a2k+1=a2k+1=，a2k=1+a2k2数列an的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为1Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=+3k+=+127（k=5时取等号）Sn=S2k1=S2k2+a2k1=+111，k=5时
17、取等号综上可得：数列an的前n项和Sn的最大值为127故答案为：12714设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2b）0对任意x0，+）恒成立，则a2b=9【考点】一元二次不等式的解法【分析】利用换元法设f（x）=ax+3，g（x）=x2b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可【解答】解：（ax+3）（x2b）0对任意x0，+）恒成立，当x=0时，不等式等价为3b0，即b0，当x+时，x2b0，此时ax+30，则a0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2b，若b=0，则g（x）=x20，函数f（x）=ax+3的零点为x=，则函数f（x）在（0，）上f（x）0，此时不满足条
18、件；若a=0，则f（x）=30，而此时x+时，g（x）0不满足条件，故b0；函数f（x）在（0，）上f（x）0，则（，+）上f（x）0，而g（x）在（0，+）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）0，则（，+）上g（x）0，要使（ax+3）（x2b）0对任意x0，+）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即=，a2b=9故答案为：9二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15下列不等式一定成立的是（）Alg（x2+）lgx（x0）Bsinx+2（xkx，kZ）Cx2+12|x|
19、（xR）D（xR）【考点】不等式比较大小【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+2；C选项是正确的，这是因为x2+12|x|（xR）（|x|1）20；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立综上，C选项是正确的故选：C16在极坐标系中圆=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A=0（R）和cos=2B=（R）和cos=2C=（R）和cos=1D=0（R）和cos=1【考点】简单曲线的极坐标方程；圆
20、的切线方程【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆=2cos是以（1，0）为圆心，1为半径的圆故圆的两条切线方程分别为（R），cos=2故选B17若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则g（1）的值为（）A1B3C2D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】由于函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，可得F（x）+F（x）=f（x）+x2+f（x）+x2=0代入即可得出【解答】解：函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，F（x）+F（x）=f（x）+x2+f（x）+x2=0f（1）+2+f（1）=0f（1）+2
21、=f（1）=1g（1）=f（1）+2=1故选：A18袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则E等于（）A4B4.5C4.75D5【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E【解答】解：袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，的可能取值为3，4，5，P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=，E=4.5故选：B三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
22、.19已知F1，F2分别是椭圆C： =1（其中ab0）的左、右焦点，椭圆C过点（，1）且与抛物线y2=8x有一个公共的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把（，1）代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b的答案；（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度【解答】解：（1）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），椭圆的左焦点为（2，0），c=2，b2=a24又，得a48a2+1
23、2=0，解得a2=6（a2=2舍去）故椭圆C的方程为（2）直线l的方程为y=x2联立方程组，消去y并整理得2x26x+3=0设A（x1，y1），B（x2，y2）故x1+x2=3，则=20设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】空间向量的数量积运算；用向量证明垂直【分析】（1）在给定空间直角坐标系中，
24、求出，由此能求出向量与的数量积（2）若MN平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标【解答】解：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，1），所以 （2）存在唯一直线MN，MN平面ABCD 若MN平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，所以设又因为点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，所以，即，（a2，a，m2）=（，2，2），（a，a，n2）=（2t，2t，t），所以且，解得所以点M，N的坐标分别是， 21如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码
25、头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km测得tanMON=3，OA=6km以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQOM，且PQ=6km），游轮无法靠近求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=3x，求出Q（4，2），得直线AQ的方程，从而求出水上旅游线AB的长，由
26、此能求出游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行时间（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，分别求出直线AB的方程和直线PC的方程，联立直线AB和直线PC的方程组，能求出点C的坐标【解答】解：（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=3x，1分设Q（x1，2），（x10），由及x10，得x1=4，Q（4，2），3分直线AQ的方程为y=（x6），即x+y6=0，5分由，得，即B（3，9），6分AB=9，即水上旅游线AB的长为9km游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行30分钟时间 8分（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C 10分由（1）知直线AB的方程为x
27、+y6=0，P（4，8），则直线PC的方程为xy+4=0，12分联立直线AB和直线PC的方程组，得点C的坐标为C（1，5） 14分22已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（cI），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点（1）判断函数f（x）=在区间（0，+）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x（0，），证明f（x）=+1在区间（0，）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理【分析】（1）利用分段
28、函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论（2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论（3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得m的范围【解答】解：（1）函数在区间（0，+）内具有唯一零点 理由：当x=1时，有f（1）=0，且当0x1时，有f（x）=x210；当x1时，f（x）=log2x是增函数，有f（x）=log2xlog21=0 （2）因为，所以，f（x）=0的解集为因为I=（0，），所以在区间（0，）内有且只有一个实数，使得成立，因此在开区间（0，）内具有唯一零点（3）函数f（x）=x2+2mx+2m在开区间（2，2）内具有唯一零点，该二
29、次函数的对称轴为x=m以下分m与区间（2，2）的位置关系进行讨论当m2即m2时，f（x）=x2+2mx+2m在开区间（2，2）是增函数，只需，解得m2当2m2即2m2时，若使函数在开区间（2，2）内具有唯一零点，2mm20，所以m0再分三种情形讨论：当m=0时，符合题意；当0m2时，空集； 当2m0时，只需解得当m2即m2时，f（x）=x2+2mx+2m在区间（2，2）是减函数，只需，解得m2综上讨论，实数m的取值范围是或m=0或m223已知数列an满足an=3an1+3n（n2，nN*），首项a1=3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）数列bn满足bn=log3
30、，记数列的前n项和为Tn，A是ABC的内角，若sinAcosA对于任意nN*恒成立，求角A的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过在两边同时除以3n，进而可知数列是首项为、公差为1的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1），利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）计算可知，进而利用错位相减法计算可知Tn=1，利用Tn1及二倍角公式化简可知，结合A（0，）计算即得结论【解答】解：（1）数列an满足（n2，nN*），又3n0，为常数，数列是首项为、公差为1的等差数列，=n，（nN*）；（2）由（1）可知，两式错位相减，得：2Sn=3+32+33+3nn3n+1=n3n+1=3n+1，Sn=+3n+1；（3）由（1）可知，数列bn满足，=，=，又恒成立，且对于任意nN*，Tn1成立，即，又A（0，），即2A（0，2），即2016年7月14日
