《极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义.doc（17页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、极坐标与参数方程专题（1）直线参数t几何意义的应用1（2018银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=4cos，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）若P（2，4），求|PM|+|PN|的值解：（）根据x=cos、y=sin，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程xy2=0（）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则 t1+t2=12，t1t2=48，|PM|+|
2、PN|=|t1+t2|=2（2018乐山二模）已知圆C的极坐标方程为=2cos，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|AQ|的值解：（1）圆C的极坐标方程为=2cos 即2=2cos，即 （x1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆（2）点A的直角坐标为（，），点A在直线 （t为参数）上把直线的参数方程代入曲线C的方程可得 t2+t=0由韦达定理可得 t1t2=0，根据参数的几何意义可得|AP|AQ|=|t1t2|=3（2018西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正
3、半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos+sin=0，C的极坐标方程为=4sin（）（I）求直线l和C的普通方程；（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，），求|PA|PB|的值解：（I）直线l的极坐标方程为cos+sin=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为=4sin（），所以圆C的普通方程：（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t29t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，则：|PA|PB|=，=4（2018内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，2），倾斜角为以坐标原点O为极点，x轴
4、的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos，直线l与曲线C交于A，B两点（）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（）求的值解：（）直线l过点P（1，2），倾斜角为直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）（3分）曲线C的极坐标方程为=4cos曲线C的普通方程为（x2）2+y2=4（5分）（）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x2）2+y2=4，得，（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，点P在曲线C的左下方，|PA|=t1，|PB|=t2，（8分）=3（10分）5（2018上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为，以坐标原点为极点
5、，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值解：（1）由=4cos，得2=4cos，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为，所以直线l的参数方程为（t为参数）（2）将代入（x2）2+y2=4，得t22tcos3=0，=（2tcos）2+120，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则=，因为cos1，1，所以的最大值为，最小值为6（2018武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标
6、系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0），曲线C的极坐标方程为cos2=4sin（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由cos2=4sin，得（cos）2=4sin，所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos24tsin8=0，由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，=，cos2（0，1，当cos2=1，即=0时，|AB|的最小值为7（2018洛阳一模）在
7、极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围解：（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （5分）（）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）（10分）8（2018
8、新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：sinxcosy+2cossin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，当直线的斜率不存时，x=1当直线的斜率存在时，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线l的斜率为2
9、9（2018合肥二模）已知过点P（0，1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asincos2=0（a0）（）求曲线C的直角坐标方程；（）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值解（）曲线C的方程为2asincos2=0（a0）2asin2cos2=0即x2=2ay（a0）（）将代入x2=2ay，得，得a0，解得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，|MN|2=|PM|PN|，即，即，解得a=0或，10（2018芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程
10、为（t为参数，aR），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2+2cos=0（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值解：（1）曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，aR），消参得曲线C1的普通方程为x+ya1=0，曲线C2的极坐标方程为cos2+2cos=0两边同乘得2cos2+2cos2=0，即y2=2x（5分）（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+12a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1
11、|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=2t2，解得a=（10分）11（2018深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为cos2+8cos=0（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|求a的值解：（）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）转化为直角坐标方程为：4x3y4a+3=0曲线C的方程为cos2+8cos=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x（）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，所以：由，解得
12、：由|PA|=3|PB|则：t1=3t2或t1=3t2，当t1=3t2时，解得：当t1=3t2时，解得：故：极坐标与参数方程专题（2）极坐标系下意义的应用1（2018顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2（）求C2的极坐标方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|解：（）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2即：，故C2的直角坐标方程为：转化为极坐标方程为：（）曲线C1
13、的参数方程为（为参数），转化为极坐标方程为1=1，由题意得到：A（1，），将B（，）代入坐标方程：得到，则：|AB|=2（2018内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和曲线C的极坐标方程；（）已知直线l上一点M的极坐标为（2，），其中射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值解：（）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为曲线C的普通方程为，极坐标方程为（5分）（）点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，），射线OM的极坐标方程为联立，解得=3|M
14、N|=|NM|=13（2016晋中一模）已知曲线C1：x+y=和C2：（为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离解：（1）线C1：x+y=和C2：（为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=cos，y=sin，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C
15、1得到1=1，P（1，）；把代入C2得到2=2，Q（2，），所以|PQ|=|21|=1，即P，Q两点间的距离为14（2015新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，C3：=2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：（I）由曲线C2：=2sin，化为2=2sin，x2+y2=2y同理由C3：=2cos可得直角坐标方程：，联立，解得，C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（2）曲线C1：（t为参数，t0），化为普通方程：y=xtan
16、，其中0，；=时，为x=0（y0）其极坐标方程为：=（R，0），A，B都在C1上，A（2sin，），B|AB|=4，当时，|AB|取得最大值45（2018城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OAOB，求的值解：（1）由，得2cos2+92sin2=9，将x=cos，y=sin代入，得到曲线C的普通方程是 （5分）（2）因为，所以，由OAOB，设A（1，），则B点的坐标可设为，所以= （10分）6（2018衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以
17、坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OAOB，设射线OA：=，其中0（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|OB|的最小值解：（1）曲线C的参数方程为（为参数）化为直角坐标方程为：再转化为极坐标方程为：（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA|OB|=12=，当且仅当sin2=cos2，即时，函数的最小值为7（2018全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求l与C的极坐标方程；（2）设A的极
18、坐标为（2，），点B在曲线C上，OAB的面积为，求B点的直角坐标解：（1）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，直线l的极坐标方程为l：cos=4设P（，），（0），M（1，），（10），则1cos=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|OP|=16，|OM|OP|=1=16，=4cos，0，C的极坐标方程为=4cos，0（2）依题意设B点极坐标为（4cos，），则SABO=|AO|BO|sinAOB=2|sin（2）|=，解得，此时B（2，），或=，此时B（2，），化为直角坐标为B（3，）或B（1，）8（2018石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r0，为参数
19、），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（）求曲线C的极坐标方程；（）在曲线C上取两点M，N与原点O构成MON，且满足，求面积MON的最大值解：（）直线l的极坐标方程为，由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r=2，曲线C的参数方程为（r0，为参数），曲线C的普通方程为（x）2+（y1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为22cos2sin=0，即（）由（）不妨设M（1，），N（2，），（10，20），=4sin（）sin（）=2sincos+2=sin2+=2sin（2）+
20、，当时，所以MON面积的最大值为2+极坐标与参数方程专题（3）求取值范围或最值1（2018曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为sin（）=3，曲线C2的参数方程为（为参数）（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值解：曲线C1的极坐标方程为sin（）=3，=3，曲线C1的直角坐标方程为曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4（2）曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，2）为圆心，以2为
21、半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d=4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，|PQ|的最小值为：dr=42=22（2018赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1的普通方程为x2+y2=1，曲线C2的极坐标方程为=4cos+4sin，2=4cos+4sin，曲线C2的直角坐标方程为x2+y24x4y=0，曲线C1，C2公共
22、弦所在的直线的普通方程为4x+4y1=0曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4cos+4sin=1（2）曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，曲线C2：x2+y24x4y=0的圆心C2（2，2），半径r2=2，|C1C2|=2，设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4+13（2018洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数）（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为
23、曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值解：（1）直线l的极坐标方程为，即cos+sin=4，直线l的直角坐标方程为x+y4=0；曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）2=4（2）点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等曲线C1是以（1，2）为圆心，半径r=2的圆|AP|min=|PC1|r=所以|AP|+|BP|的最小值为23=64（2018黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（2
24、，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求ABM面积的最大值解：（1）圆C的参数方程为（为参数）所以普通方程为（x3）2+（y+4）2=4（2分），x=cos，y=sin，可得（cos3）2+（sin+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：26cos+8sin+21=0（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：xy+2=0的距离为（7分）ABM的面积所以ABM面积的最大值为（10分）5（2018孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点（1）求线段OP中点Q
25、的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求MAB面积的最大值解：（1）由C的方程可得2+32sin2=16，又2=x2+y2，y=sin，C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即设P（4cos，2sin），则Q（2cos，sin），点Q的轨迹的参数方程为（为参数）（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），所以直线AB的方程为x+2y4=0设M（2cos，sin），则点M到AB的距离为，MAB面积的最大值为6（2018思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A
26、，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围解：（1）曲线C1的极坐标方程为=2，曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），B点的坐标为（2cos120，2sin120），即B（1，），C点的坐标为（2cos240，2sin240），即C（1，）（2）圆C2：x2+（y+）2=1，圆C2的参数方程，设点P（cos，），02，|PB2|+|PC|2=+（cos+1）2+sin2=16+4cos4
27、sin=16+8cos（），|PB2|+|PC|2的范围是8，247（2018河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos（）（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围解：（1）圆C的极坐标方程为=4cos（），又2=x2+y2，x=cos，y=sin，（5分），圆C的普通方程为=0（2）设z=，圆C的方程=0即（x+1）2+（y）2=4，圆C的圆心是C（1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=t，又直线l过C（1，），圆C的半径是2，2t
28、2，2t2，即的取值范围是2，2（10分）8（2018湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为=2sin（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，曲线C2的方程为+y2=1曲线C2的参数方程为，（为参数）曲线C3的极坐标方程为=2sin即2=2sin，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y+1）2=1，曲线C3的参数方程为，（为参数）（2）设P（2cos，sin），则P到曲线C3的圆心（0，1
29、）的距离：d=sin1，1，当sin=时，dmax=|PQ|max=dmax+r=+1=9.（2018大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+=（）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值解：（）解：由曲线C的参数方程为（为参数）可得，曲线C的直角坐标方程为由sin（+=，得，化简得，sin+cos=2，x+y=2直线l的直角坐标方程为x+y=2（）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=当时，点Q到直线l的距离的最大值
30、为10（2017新课标）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos=4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，y0=，|OM|OP|=16，=16，即（x2+y2）（1+）=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x2）2+y2=4（x0），点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x2）2+y2=4（x0）（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=，AOB的最大面积S=|OA|（2+）=2+
