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1、空间向量在立体几何中的应用一用向量讨论垂直与平行【学习目标】1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量1. 直线的方向向量： 若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 要点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量. （2）在解具体立
2、体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算. 2. 平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量. 要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为=（）； （ii）找出（求出）平面内的两
3、个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）； （iii）根据法向量的定义建立关于的方程. （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量要点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. （1）线线平行向量判定方法：设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. （2）线面平行线面平行的判定方法一般有两种：判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.向量判定：方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明
4、，只需证明，即. 方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量. 方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. （3）面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行.向量判定：方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可. 方法二：若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明. 要点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.
5、 （1）线线垂直向量判定方法：设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即. （2）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.向量判定方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明. 方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直. （3）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直. 【典型例题】类型一：求平面的法向量例1 已知正方体的棱长为1，在、上是否存在点，使成为平面的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点满足的条件；若不存在
6、，请说明理由 【思路点拨】由于本题所研究的问题是在正方体这样特殊的几何体中，所以可以用坐标向量求解 【解析】如图所示的空间直角坐标系， 则A（1，0，1），B（1，1，1），B1（1，1，0） 设F（0，0，h），E（m，1，1）， 则，ABB1E若是平面ABF的法向量，则，h=m即E、F满足D1F=CE时，是平面ABF的法向量故存在，且E、F满足D1F=CE【总结升华】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x
7、、y、. 所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出举一反三：【变式1】如图，在长方体中，=2，点为的中点，求平面的一个法向量. 【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），所以E（1，1，0）所以，. 设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则：，. 所以，所以. 令y=1，则x=1，z=2. 所以平面CD1E的一个法向量为（1，1，2）. 【变式2】已知垂直于正方形所在的平面，、分别是、的中点，
8、并且. 求证：是平面的法向量. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），即平面PCD， 所以为平面PCD的法向量. 类型二：利用向量研究平行问题 例2. 如图所示，在正方体中，、分别是、的中点求证：平面 【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明与平面A1BD的法向量垂直；二是在平面A1BD内找一向量与共线；三是证明可以利用平面A1BD中的两不共线向量线性表示 【解析】解法一：如图以D为原点，DA、DC、DD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
9、设正方体的棱长为1，则、D（0，0，0）、A1（1，0，1）、B（1，1，0），于是.设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z），则，且，得 取x=1，得y=1，z=1n=（1，1，1）又，MN平面A1BD解法二：，MN平面A1BD解法三： 即可用与线性表示，且与不共线，故与、是共面向量，平面A1BD，即MN平面A1BD 【总结升华】要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运
10、算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明举一反三： 【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【解析】如图，分别以AB，AD，AO所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，法一：，共面又平面，平面，平面，平面法二：设平面的法向量为，则，即 ，取，得，又平面，平面. 例3. 正方体的边长为4，、分别是棱、的中点求证：平面平面 【思路点拨】画出图形，建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，将面面平行问题转化为向量问题进行解决.本题显然，从这里入手较简单.【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则， ，可见，平面，平面又，平
11、面平面【总结升华】本题中证明方法并不唯一，除了利用面面平行的判定定理外，还可以采用向量法，即：要证两个面、平行，只需求出平面、的法向量，再证出即可. 举一反三：【变式】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点. 求证：平面EGF平面ABD. 【答案】如图所示，由条件，知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标. 由条件知B（0，0，0）、D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，则A（a，0，0）. 所
12、以，. ，. 所以B1DBA，B1DBD. 因此B1D平面ABD（1）由E、F、G的定义，知E（0，0，3）、F（0，1，4）. 所以，. 所以B1DEG，B1DEF. 所以B1D平面EFG. 结合（1），可知平面EGF平面ABD. 类型三：利用向量研究垂直问题 【高清课堂：空间向量的直角坐标运算 399111例4】例4. 已知在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，点，分别是与的中点. 求证： （1）；（2）平面；（3）平面.【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将几何证明问题转化为向量的代数计算问题.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则（1），则，故.（2）设平面的法向量为，则 取由，可知，所
13、以平面.（3）设平面的法向量为，则 取由知，所以，即平面.【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量垂直即可；要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行.举一反三：【变式】在正方体中，为的中点，为底面的中心，求证：平面. 【答案】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）. 则，所以OB1AC，OB1AP. 所以OB1平面PAC. 例5. 在正方体中，是棱的中点，试在棱上求一点，使得平面平面 【思路点拨】 若要在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE
14、，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P的坐标，求出平面A1B1P与平面CDE的法向量，建立方程求出点P的坐标，确定点P的位置【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A1（1，0，1），B1（1，1，1），E（，1，0），C1（0，1，1），设P的坐标为（0，1，a） ，. 设平面A1B1P的一个法向量为n1=（x，y，z）， 则 令z=1，则得x=a1，所以平面A1B1P的一个法向量为n1=（a1，0，1） 设平面C1DE的一个法向量为n2=（x，y，z），则，令y=1，则得x=2，z=1，所以平面C1DE的一个法向量为n2=（2，1，1）要使平面A1B1P平面C1
15、DE，则n1n2=02(a1)1=0，解得，所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE【总结升华】 要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错，就会得出错误的结论举一反三：【变式】在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，、分别为、上的点，且. 求证：平面平面【答案】如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 令PA=PB=PC=3，则A（3，0，0）、B（0，3，0）、C（0，0，3）、E（0，2，1）、F（0，1，0）、G（1，1，0）、P（0，0，0） 于是，故，PAFG 而PA平面PBC，FG平面PBC又FG平面EFG，平面EFG平面PBC
