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1、等比数列性质一、选择题1.已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( )A、 B、 C、或 D、2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） 5.等比数列的各项均为正数，且18，则( ) A12 B10 C8 D26.是公差不为0的等差的前项和，且成等比数列，则等于 （ ）A. 4 B. 6 C.8 7.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） 或1 C.或 或29.已知等比数列an 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A 15 B17 C19 D 21二、填空题13.设等比数列的前n项和
2、为。若，则= 15.等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= 16.等比数列的前项和=，则=_.三、解答题17.（2006全国卷理）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3,
3、, 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.（2006安徽理）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。8.解：由得：，即，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，所以，对成立。由，10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数10.解：由已知可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从
4、而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=.例题2. （2007年二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）试比较的大小，并证明你的结论.解析：（）是各项均为正数的等比数列. 当n=1时，a1=1， 当。（）当n=1时， 当当q=1时，当当综上可知： 当n=1时，当 若 若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3. （2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：个个 12、1122、111222、 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相
5、邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1） 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 (2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要例题4. (云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知是数列的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）. （I）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （II）设的前n项和，求.解析：（I）两式相减：是以2为公比的等比数列， （II）而 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得
6、数列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证：解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解： 又为锐角 都大于0 , , 又 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题7.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.解析：第（1）问
7、是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: .点
8、评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量、概率等的联系例题8.（四川省南充高级中学2008届十月份月考）无穷数列的前n项和，并且（1）求p的值；（2）求的通项公式；（3）作函数，如果，证明：解析：（1），且p1，或若是，且p1，则由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），当k2时，n3时有对一切有：（3），故又故点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题8.（2007年5月徐州市）已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当
9、n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中， （1）求；（2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑anSnSn1(n2)解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中这种拆分方法是数学中较高要求的变形.答案一、选择题 三、解答题20.解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列，且公差为 （先求也可） 4分（2）因，又，所以由由. 8分（3）因当时，所以时，； 又可验证是时，；时，. 12分
