[理学]031函数极限概念.doc

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1、 第三章 函 数 极 限1 函数极限概念一 趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数x=5:50; y=1./x;plot(x,y,r), axis(5,55,0,0.22) 从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。clf, x=0:50; y=atan(x); plot(x,y,r), axis(0,55,0,1.7) 一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1 设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称

2、函数当趋于时以为极限，记作 或 。在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。定义1的几何意义如下图所示，M对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线 与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。现设为定义在或上的函数，当或时，若

3、函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作 或 或 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可。显然,若为定义在上的函数，则 （1）例1 证明 。证 任给，取 ，则当 时有所以 。例2 证明：1）； 2）证 任给，由于 （2） 等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有故对任给的正数 ，只须取，则当时便有（2）式成立。这就证明了1）。类似地可证2）。注 由结论（1）可知，当时不存在极限。二 趋于时函数的极限设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。这类函数

4、极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 。下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。例3 设，证明 。证 由于当时，故对给定的，只要取，则当时有。这就证明了。例4 证明：1）； 2）证 先建立一个不等式：当时有 （3） 事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有，即 ，由此立得（3）式。又当时有，故对一切都有；当时，由得。综上，我们又得到不等式， （4）其中等号仅当时成立。现证1）。由（4）式得。对任给的，只要取，则当时，就有。

5、所以。2）的证明留给读者作为练习。例5 证明 。证 当时有若限制于（此时），则 。于是，对任给的，只要取，则当时，便有。例6 证明（） 证 由于，因此于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有 。应用定义还立刻可得， 这里为常数，为给定实数。通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：1 定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。如在例3中可取或等等。2 定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过

6、程中函数值的变化趋势。如在例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数。3 定义2中的不等式等价于，而不等式等价于。于是，定义又可写成：任给，存在，使得对一切有。或更简单地表为：任给，存在，使得。4定义的几何意义如图3-3所示。对任给的，在坐标平面上画一条以直线为中心线、宽为的横带，则必存在以直线为中心线、宽为的竖带，使函数的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点可能例外（或无意义）。单侧极限有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义。例如，函数 （5

7、）当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考察。又如函数在其定义区间 端点 处的极限，也只能在点 的右侧和点 的左侧来分别讨论。 定义3设函数在内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当（或 ）时有 则称为函数当趋于（或）时的右左极限，记作 （）或 （右极限与左极限统称为单侧极限。在点的右极限与左极限又分别记为 按定义3容易验证函数（5）在的左右极限分别为 。同样还可验证符号函数 在 的左右极限分别为例7 讨论在定义区间端点处的单侧极限。解 由于，故有任给,则当时，就有 （6）于是取 ，则当 即 时，（6）式成立。这就推出。 类似地可得 。单侧极限与双侧极限的关系关于

8、函数极限与相应的左右极限之间的关系，有下述定理：定理3.1 类似有: 应用定理3.1，除了可验证函数极限的存在（如对函数（3）有），还常可说明函数极限的不存在，如前面提到的符号函数 ，由于它在 处的左右极限不相等，所以 不存在。例8 证明: 极限 不存在.例9 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 =2 函数极限的性质在1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）； 2）； 3）；4）；5）； 6）。它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。定理3.2（唯一性） 若极限 存在，则此极限是唯

9、一的。证 设、都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有 （1）当 时有 （2）取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3（局部有界性） 若极限 存在，则在某空心邻域内有界。证 设 。取，则存在，使得对一切有。这就证明了在内有界。定理3.4（局部保号性）若（或），则对任何正数 （或），存在 ，使得对一切 有（或）。证 设，对任何，取，则存在，使得对一切有，这就证得结论。对于的情形可类似地证明。定理3.5（保不等式性）设 与都存在，且在某邻域 内有，则 （3）证 设，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有 （4）当 时有 （5）令

10、，则当时，不等式 与（4）,（5）式同时成立，于是有，从而。由的任意性得，即（3）式成立。定理3.6（迫敛性）设=，且在某内有 （6）则 。 证 按假设，对任给的，分别存在正数 与 ，使得当时有 （7）当时有 （8）令，则当 时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有 ，由此得 ，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限 与 都存在，则函数，当 时极限也存在，且1）=2）=又若，则当时极限也存在，且有3）这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。例1 求。解 由第一章3习题13，当 时

11、有 ，而 ，故由迫敛性得 。 另一方面，当时有 ，故由迫敛性又可得。综上，我们求得 。例2 求。解 由 及1例4所得的并按四则运算法则有=例3 求 解 当 时有 。故所求极限等于 。例4 证明证 任给（不妨设），为使 （9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有时成为海涅（Heine）定理。定理3.8（归结原则）设 在 内有定义。 存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列 ，极限 都存在且相等。

12、证 必要性 设，则对任给的，存在正数 ，使得当 时，有 。另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当 时有，从而有 。这就证明了。(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出 。事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在一点，尽管，但有 。现依次取，则存在相应的点，,使得，而，。显然数列 且 ，但当时不趋于。这与假设相矛盾，所以必有。注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有。注2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使 与 都存在而不相等，则 不存在。例1 证明极限 不存在。证 设，（），则显然有，（），（）。故有归结原则即得结论。

13、函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数。归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。对于，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式，现以这种类型为例阐述如下：定理3.9设函数在点的某空心右邻域 有定义。的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。相应于数列极限的单调有界定理，关于上

14、述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。证 不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理，存在，记为。下证 。事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。取 ，则由的递增性，对一切=，有另一方面，由，更有。从而对一切有这就证得 。最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。定理3.11（柯西准则）设在 内有定义。存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，有 证 必要性 设，则对任给的，存在正数，使得对任何 有 。于是对任何 ， 有。充分性 设数列且。按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有。由于（），对上述的，存在，使得当时有，

15、,从而有.于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即.设另一数列 且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.为此,考虑数列:,易见 且 (见第二章3例7).故仍如上所证, 也收敛.于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。所以由归结原则推得。按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存在，对任何（无论多么小），总可找到，使得 如在例中我们可取，对任何设正整数 ，令 ，则有，而于是按柯西准则，极限 不存在4 两个重要的极限O一 证明 证 1例4中我们已导出如下不等式 （）除以，得到 ，由此得（）在（）式中用代替时，（）式不变，故（）式当 时也成立，从而它对一切满足不等式 的

16、 都成立由 及函数极限的迫敛性，即得 函数 的图象如右图所示例求解令，则 ，且当时所以有例2求 解二证明 y=(1+1/x)x;ezplot(y,10,100) 证所求证的极限等价于同时成立以下两个极限： （2） （3）先利用数列极限 证明（2）式成立为此，作定义在上的两个阶梯函数如下：，易见增（第二章3习题4）且有上界, 减（第二章3习题9）且有下界故据上节习题2，与皆存在于是，由归结原则（取）得到另一方面，当时有以及，即有，从而根据迫敛性定理（2）式得证现证（3）式为此作代换，则，且当时，从而有以后还常用到的另一种极限形式：（4）事实上，令 ，则 ，所以例3求解例4 求解 令 , 则当 时

17、 ，因此=例5 求 解 另一方面，当时有而有归结原则（取），于是，由数列极限的迫敛性得5 无穷小量与无穷大量一 无穷小量与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义1 设在某内有定义若，则称为当时的无穷小量若函数在某内有界，则称为当时的有界量类似地定义当，以及时的无穷小量与有界量例如，与都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量，而，为当时的无穷小量又如是当时的有界量，是当时的有界量特别，任何无穷小量也必都是有界量由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量2 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量例如，当时，是无穷小量，是有界量，故有性质

18、2即得clf, x=-0.1:1/500:0.1; y=x.2.*sin(1./x); y1=x.2; y2=-x.2;plot(x,y,x,y1,x,y2) 函数的图象如上图所示有函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论： 是当 时的无穷小量二无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢为此我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断设当时，与均为无穷小量1若，则称当时为的高阶无穷小量，为的低阶无穷小量，记作（）特别，为当时的无穷小量记作（）例如，当时，（为正整数）等都是无穷小量，因而有（），而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有（）又

19、如，由于故有（）2若存在正数和，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量特别当时，与必为同阶无穷小量例如，当时，与皆是无穷小量由于 ，所以 与 为当 时的同阶无穷小量又如，当 时， 与 都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足 ，所以与 为当时的同阶无穷小量若无穷小量与满足关系式 ，则记作（）特别，若在某内有界，则记为（）例如，（），（），（）甚至当（）时，也有（）注本段中的等式（）与（）等，与通常等式的含义是不同的这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”例如，前面已经提到（）（1）其中，等式（1）表示函数 属于此函数类3若，则称 与 为当 时的等价无穷小量记作（）

20、例如，由于 ，故有 （）又由于 （上节习题（6），故有 （）以上讨论了无穷小量阶的比较但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较例如，当时，和都是无穷小量，但它们的比 = 或 =当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用定理3.12 设函数， 在 内有定义，且有 （）() 若 ，则 ()若 ，则 证 () ()可类似的证明.例1 求解 由于（）, （）, 故有定理3.12得.例2 利用定价无穷小量代换求极限.解 由于=,而（）, （）, （）,故有=注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因

21、式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若因有（）,（）,而推出=,则得到的是错误的结果. 例 在 时是等价无穷小量 （c35）因为 所以， 时 是等价无穷小量， 记做 clf,x=0:1/100:1; y=sin(x); y1=1-cos(x);subplot(1,2,1)plot(x,y,x,y1,linewidth,2),hold on legend(sinx,1-cosx)subplot(1,2,2)y2=(1/2)*x.2;plot(x,y1,x,y2,linewidth,2)legend(x2,2(1-cosx) 三 无穷大量定义2 设函数

22、在某内有定义, 若对任给的，存在正数,使得当()时有 (2)则称函数当时有非正常极限,记作若(2)式换成“”或“”，则分别称当时有非正常极限或,记作或. 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列当时的非正常极限的定义, 都可类似的给出例如的定义：任给，存在, 使得当时有； 的定义：任给，存在,使得当时有定义3对于自变量的某种趋向（或时），所有以，或为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量例3 证明.证任给，要使，只要，因此令，则对一切有这就证明了例 4 证明：当时，证明任给（不妨设），要使，有对数函数的严格增性，只要，因此令，则对一切有这就证明了顺便指出，容易证明：当时，

23、；当时，注1无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数如由例3知是当时的无穷大量，由例4知是当时的无穷大量注2若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数但无界函数却不一定是无穷大量如在上无界，因对任给，取，这里正整数，则有但，因若取数列（），则（），而如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量也可定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念这里就不在祥述了由无穷大量与无穷小量的定义，可推得它们之间有如下关系：定理3.13()设在内有定义且不等于0若为当时的无穷小量，则为当时的无穷大量()若为当时的无穷大量，则为当时的无穷小量定理的证明留给读者根据这个定理，对无穷大量的研究可归结为无穷小量的讨

24、论四曲线的渐近线作为函数极限的一个应用，我们讨论曲线的渐近线问题由平面解析几何知道，双曲线有两条渐近线一般地, 曲线的渐近线定义如下：定义4若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于0，则称直线为曲线的渐近线（图3-8）下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线，以及怎样求出渐近线方程现假设曲线有斜渐近线如图3-8所示，曲线上的动点到渐近线的距离为按渐近线的定义，当时，即有，或 （3）又由=,得到. (4)由上面的讨论可知, 若曲线有斜渐近线，则常数与可相继由(4)式和(3)式来确定；反之若由(4)、(3)两式求得与，则可知（），从而为曲线的渐近线若函数满足（或，

25、），则按渐近线的定义可知，曲线有垂直于轴的渐近线，称为垂直渐近线例5求曲线 的渐近线解由(4)式 ，得再由(3)式 ，得从而求得此曲线的斜渐近线方程为又由易见 ，所以此曲线有垂直渐近线 和 x =1y= x-2 =1x = -3O 习 题 课例1 设数集无界. 试证明: 存在数列 使 例2 设为定义在上的递增函数. 证明: 极限存在的充要条件是函数在上有上界.例3 证明: 对 其中是Riemann函数.例4 设函数定义在内, 且满足条件 对 有 试证明 是内的常值函数. 例5 求极限 注意=有界例6 求和.解法一 又 解法二 ， 由且原式极限存在，即 .例7 . 求.注意时,且. 先求由Heine归并原则即求得所求极限.例8 求 和 . 并说明极限 是否存在.解 ; 可见极限 不存在. 74