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1、第二章 极 限,本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。,欢迎观看,第二章 极 限,第二节 函数的极限与性质,三.极限定义及定理小结,四.函数极限的基本性质,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极
2、限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.,的图形可以看出:,如何描述它？,定义,想想：如何从几何的角度来表示该定义？,将图形对称过去后,你有什么想法?,将图形对称,定义,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?,定义,由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.,既包含了 x+,定理,及极限的三个定义即可证明该定理.,由绝对值关系式:,证,成立.由极限的定义可知:,解,无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有,下面证明我们的猜想:,证明过程怎么写？,这里想得通吗？,由图容易看出：,分析,证,f
3、(x)在点 x0=0 处有定义.,函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.,定义,(,(,证,这是证明吗？,非常非常严格！,证,证,这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.,(),0,x,2,1,1 1,1+1,分析,结论,证,证毕,在极限定义中：,1)与 和 x0 有关,即=(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.,2)不等式|f(x)a|0,同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.,3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.,y=a,y=a,y=a,x,O,y,x0
4、,x0,x0+,曲线只能从该矩形的左右两边穿过,3.函数的左、右极限,定义,定义,(1)左、右极限均存在,且相等；,(2)左、右极限均存在,但不相等；,(3)左、右极限中至少有一个不存在.,找找例题！,函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：,y=f(x),x,O,y,1,1,在 x=1 处的左、右极限.,解,定理,利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.,解,解,三、极限定义及定理小结,极限定义一览表,极限定义一览表,在以后的叙述中,如果函数 f(x)极限的某种,性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使,表示对任意一种极限过程的函数,用符号,四、函数极限的基本性质
5、,极限.,1.有界性定理,若 lim f(x)存在,则函数 f(x)在该极限过程中必有界.,2.唯一性定理,若 lim f(x)存在,则极限值必唯一.,3.保号性定理,该定理也称为第一保号性定理,极限值正负与函数值正负关系的推论,作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的结论即可得证.,该定理也称为第二保号性定理,第二保号性定理成立.,运用反证法,设 f(x)0(f(x)0)时,有 a 0),则由第一保号性定理将推出,f(x)0)的矛盾,该矛盾就证明了,注意:,当 f(x)0(f(x)0)时,按照第二保号性定理也只能得到,a 0(a 0)结论.,函数值正负与极限值正负关系的推论,若极限 lim f(x)=a,lim g(x)=b 存在,即 lim f(x)lim g(x).,且在该极限过程中 f(x)g(x),则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.,令 F(x)=f(x)g(x)0,即可进行证明.,作业：P481（2）（3）46,
