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1、1 函数极限概念,一、x趋于时的函数极限,二、x趋于x0 时的函数极限,三、单侧极限,在本章,我们将讨论函数极限的基本,联系,它们之间的纽带就是归结原理.,函数极限与数列极限之间有着密切的,概念和重要性质.作为数列极限的推广,返回,一、x趋于时的函数极限,极限.,f(x)当 x 趋于 时以A为,也无限地接近A,我们就称,无限远离原点时,函数f(x),上,当 x 沿着 x 轴的正向,记为,或者,定数,若对于任意正数 存在 使得,任意给定,存在,任意给定,存在,注 数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家,所以(由定义1),例1 证明,与不同点.,比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点,例2,
2、这就是说,定义2,或,记为,定义3,存在 当,或,证 对于任意正数,这就是说,所以结论成立.,证 对于任意正数,可取,从定义1、2、3 不难得到:,定理 3.1,则由定理 3.1，,的充要条件是：,例如,二、x趋于x0 时的函数极限,设函数 f(x)在点 x0 的某空心邻域 内有定义.,定义4,为极限的定义.,下面我们直接给出函数 f(x)时以常数 A,或者,时,使,分析,因,只要 式就能成立,故取 即可.,证,这就证明了,这就证明了,证,有,注 在例5、例6中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性.,其目的就是为了更简洁地求出,或许所求出的,显然有,即,故,
3、同理可证:,证 因为,则,这就证明了所需的结论.,例8.证明,在上面例题中,需要注意以下几点：,好的问题.,数都可以充当这个角色.,有时为了方便,需要让 小于某个正数.一旦对这,为贵”.,当然也能满足要求.所以我们有时戏称“以小,样的 能找到相应的,那么比它大的,这个,平面上以 y=A为中心线,宽为 的窄带,可以找到,使得曲线段,4.函数极限的几何意义如图,对于坐标,落在窄带内.,三、单侧极限,x 既可以从 x0,但在某些时,为常数.若对于任意正数,在定义区间的端点和分段函数的分界点等.,候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑,比如函数,右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，,极限,记作,有时记,所以,由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：,定理 3.1,不存在.,作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限.,例9 证明狄利克雷函数,证,处处无极限.,满足,这就证明了结论.,则,证,因为在(0,1)中分母小于 N 的有理数至多只有,个,故可设这些有理数为,这就是说，除了这 n 个点外,其他点的函数值都,对以上两种情形都有,这就证明了,小于.所以,我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能,注 有兴趣的同学可以证明：,复习思考题,否构造一个函数，它仅在 处有极限.,
