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1、,1,自动控制原理,兰州理工大学技术工程学院 自 动 化 教研室,2,2,第三章 线性系统的时域分析法,3.1 系统时间响应的性能指标,3.2 一阶系统时域分析,3.3 二阶系统时域分析,3.4 高阶系统的时域分析,3.5 线性系统的稳定性分析,3.6 线性系统稳态误差及其计算,3.7 控制系统时域设计,3,时域分析:针对系统的稳定性、稳态误差和瞬态响应三方面的性能指标进行分析。直接法 在时间域内，直接求解系统的微分方程。间接法 稳定性判据(Stability Criterion)根轨迹法(Root Locus Method)频率法(Frequency Method),4,动态过程：系统在典型
2、信号作用下，输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。,1 动态过程与稳态过程,控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳态过程。,3.1 线性系统的时域性能指标,稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号对输入信号跟踪的能力。提供稳态误差信息，用稳态性能（稳态误差）描述。,5,2 动态性能与稳态性能,稳定是控制系统能够运行的首要条件，只有动态过程收敛，研究动态性能与稳态性能才有意义。,稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的指标，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。,动态性能 通常在阶跃函数作用下，研究系统的动态性能。一般认为阶
3、跃函数输入能够反映系统最严峻的工作状态。,6,（一）阶跃信号,阶跃信号表达式,A=1时，称为单位阶跃信号，用1(t)表示,典型输入信号,7,（二）斜坡信号,斜坡信号表达式,当A=1时，则称为单位斜坡信号,8,（三）加速度信号,抛物线信号,当A=1时，则称为单位加速度信号,9,（四）脉冲信号,脉冲信号表达式,当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t)函数)。,10,（五）正弦信号,正弦信号表达式,A为幅值,T为周期，角频率w=2p/T,11,动态性能指标（振荡型）,延迟时间：响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。上升时间 响应曲线从稳态值的 10%上升到90%，所需的时间。,峰值
4、时间:响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。,12,调节时间：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（5%或2%）超调量指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度或振荡最大峰值。,动态性能指标（振荡型）,13,3.2 一阶系统的时域分析3.2.1 一阶系统的数学模型,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图（a）所示的RC电路，其微分方程为,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,当初始条件为零时，其传递函数为,这种系统是一个惯性环节。,下面分
5、别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,14,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,对上式取拉氏反变换，得,特点：,斜率为,15,动态性能指标：,阶跃输入时的稳态误差为零:,可见，调整时间只与时间常数T有关。,16,3.2.3.一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数(t)时，R(S)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,特点：单调下降指数曲线 响应与传递函数具有相同动态过程信息 工程上常用有限窄脉冲代替,17,3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,当,对上式求拉氏反变换，得：,一阶系统能跟踪斜坡输入信号。,由于系统存在惯性，输出信号要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳
6、态误差产生的原因。,减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。,18,3.2.5 一阶系统的单位加速度响应,结论：一阶系统无法跟踪加速度形式的输入信号,19,一阶系统对典型输入信号的响应,20,解：由微分方程得系统的传递函数,在单位阶跃输入下，有,当 时,21,3.2 一阶系统的时间响应及动态性能,例 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。,22,3.3 二阶（典型）系统的时域分析,一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件
7、，经常用到的储能元件有电感、电容等。,无阻尼自然振荡频率,当R=0时的谐振频率,阻尼比,23,为了使研究的结果具有普遍意义，可将表示为如下标准形式,自然频率（或无阻尼振荡频率）,特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。,24,，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统,，为两个相等的根,临界阻尼系统,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，无阻尼系统,，两个不相等的根，过阻尼系统,25,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,，,26,27,2.临界阻尼,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,28,3、欠阻尼情况,此时，二阶系统的闭环特征根为,式中,衰减系数,阻尼振荡频率,
8、29,稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为,阻尼振荡频率,零阻尼,30,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,典型两阶系统的瞬态响应,31,图3-12表示了二阶系统在不同,值瞬态响应曲线,32,33,典型两阶系统的瞬态响应,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,34,二阶系统单位阶跃响应定性分析,35,3.3.3 欠阻尼二阶系
9、统的动态过程分析,在控制工程上，除了那些不允许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,36,衰减振荡瞬态过程的性能指标,（一）衰减振荡瞬态过程：,上升时间：根据定义，当 时，。,解得：,37,称为阻尼角，这是由于。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,结论：阻尼小，上升快，反应快,38,衰减振荡瞬态过程的性能指标,峰值时间：当 时，,整理得：,由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：,其中,39,衰减振荡瞬态过程的性能指标,40,最大超调量：,故：,衰减振荡瞬态过程的性能指标,将峰值时间 代入,41,衰减振荡瞬态过程的性能指标,分析：阻尼增大，超调量
10、变小，但会导致上升时间和峰值时间的增加，与前矛盾结论：最佳取值阻尼=0.707，此时超调为4.6%,42,衰减振荡瞬态过程的性能指标,调节时间：,可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为,根据调节时间的定义，当tts时|c(t)-c()|c()%。,43,当t=ts时，有：,由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,当 较小时，近似取：，且,所以,44,衰减振荡瞬态过程的性能指标,由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。
11、工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。,45,阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,为了限制超调量，并使 较小，一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。,46,阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系,47,例题3.1 如图所示，系统输入r(t)=1,试计算 K=200 时，系统的响应c(t)和性能指标：,48,49,t,50,例题3.2设单位负反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示 试确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数。,5
12、1,开环传递函数:,闭环传递函数:,注意：系统为单位反馈系统，是阶跃输入，而不是单位阶跃输入。,52,改善二阶系统响应特性的措施,二阶系统超调产生过程0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用，大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。,3.3.4
13、 二阶系统的性能改善,53,改善二阶系统响应特性的措施,二阶系统超调产生原因0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。,54,改善二阶系统响应特性的措施,a.输出量的速度反馈控制,b.误差的比例+微分控制
14、,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。,以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PI控制。,为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。,55,改善二阶系统响应特性的措施,a.输出量的速度反馈控制,与典型二阶系统的标准形式 比较,不改变无阻尼振荡频率,等效阻尼系数为,由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。,56,改善二阶系统响应特性的措施,b.误差的比例+微分控制,与典
15、型二阶系统的标准形式,比较 不改变无阻尼振荡频率,等效阻尼系数为,由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。,闭环传递函数有零点，将会给系统带来影响。,57,改善二阶系统响应特性的措施,c.比例+微分控制与速度反馈控制的关系,比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。,58,例3.3,khs,kr=10,kh=0.2 求单位阶跃响应表达式C（t）、tp、tr、ts,(a),(b),解：,59,这是一个标准的二阶系统（
16、无零点），可以用公式进行计算。,由,得,60,61,当 ya(t)=0 时，可求得 tp=0.887s，23.6,因,时有 ya(t)=1，此时,62,ts 2s,tp=0.887s,速度反馈控制 比例微分控制,23.6,四种主要差别：1）阻尼来源 2）使用环境 3）对开环增益和自然频率的影响4）动态性能的影响（23.618.4%）,63,64,小 结,二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。典型二阶系统的动态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。典型二阶系统的性能指标主要
17、是超调量和调节时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。,65,一、典型三阶系统的瞬态响应,传递函数：，当 时，极点分布如下：,3.4 高阶系统时域分析,66,三阶系统单位阶跃响应,单位阶跃响应的表达式和曲线：,式中：与（实极点与共轭极点的位置关系）有关。,式中：,67,三阶系统单位阶跃响应,分析：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。,影响动态特性的有两个因素：第一是，它表示 的相对位置。当 时，表示 离虚轴远，离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 决定，呈二阶系统的特性。反之，当 时，表示 离虚轴近，离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 决定
18、，呈一阶系统的特性。第二个因素是阻尼系数，同前。如下图所示：,图中，表示无 极点，由图可见，加入极点 后，当 不变时，超调量下降了，但调节时间增加了。,68,69,高阶系统分析,二、高阶系统分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,其单位阶跃响应函数为：,70,高阶系统分析，单位阶跃响应,可见，c(t)不仅与（闭环极点）有关，而且与系数 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。,71,高阶系统分析，主导极点,若极点远离原点，则系数小；极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。,衰减慢且
19、系数大的项在瞬态过程中起主导作用。,系数 取决于零、极点分布。有以下几种情况：,72,主导极点及应用,例如：为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为：,利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。,在近似前后，确保输出稳态值不变；在近似前后，瞬态过程基本相差不大。,主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。,高阶系统近似简化原则：,73,说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下,74,小结,零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小主导极点高阶系统简化为二阶系统的原则,
