必修四第一章三角函数学案.doc

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1、哈五中高一数学学案三角函数第一章 三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】A级. 理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；B级. 掌握终边相同的角的表示；C级. 了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.【学习重点】：任意角的概念【学习难点】：把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来【学习过程】：一、知识再现（预习教材P2 P6，找出疑惑之处）复习1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角. 旋转开始时的射线OA叫做角的 ，OB叫 ，射线

2、的端点O叫做叫的顶点. 初中所研究的角的范围为 .复习2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度）如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度）二、新知探究探究任务一：角的概念问题：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法呢？新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角.试试：图2中的角是正角，大小为 ；图3中的角、是正角，大小分别为 、 .再试试画出及.反思：角的概念推广到了 ，包括

3、任意大小的 角、 角和 角.探究任务二：坐标系中讨论角问题：如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与轴的非负半轴重合. 新知：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.试试：在坐标系中表示300、390、330角，并判别它们分别在第 、 、 象限.反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究任务三：终边相同的角问题：与60终边相同的角有 、 、 、都可以用代数式表示为 .与终边相同的角如何表示？ 新知：与角终边相同的角,都可用式子k360表示，kZ，写成集合为： .试试：与390终边相同的角可表示为 ，也可以表示为 .反思：给定顶点、终边、始边的角有 个. 终

4、边相同的角 相等；但相等的角，终边 相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.例1在0360间，找出下列终边相同角：（1）150；（2）1040；（3）940.变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出720360间角. （1）120；（2）270；（3）1020.例2写出终边在下列位置上的角的集合：（1）y轴； （2）直线y=x. 变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？小结：0360是指 ；注意区分终边相同的角、象限角、区间角的表示.练1. 如图，终边落在OA位置时的角的集合是 ；终边落在OB位置，且在360360内的角的集合是 终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 练2. 写出

5、终边在直线y=x的角的集合. 学习小结 1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴时等；5. 区间角表示. 知识拓展第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ 第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角:|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角 |k360o+270ok360o+360o ,kZ【A组】：1. 是（ ）. A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角2. 在0360范围内，与终边相同的角是（ ）. A. B. D. D. 3. 090间的角可表示为（ ）. A. B

6、. C. D. 4.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B. 第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负 D.若360（Z），则与终边相同5今天是星期一，100天后的那一天是星期 100天前的那一天是星期 .6与1840终边相同的最小正角为 与1840终边相同的最小正角是 .【B组】：1.与120角终边相同的角是( )A600k360，Z B.120k360，ZC.120(2k1）180，Z D. 660k360，Z2.若角与终边相同，则一定有( )A180 B. 0 C. 360，Z D. 360，Z3. 集合M=k，kZ中，各角的终边都在 .4. 一个角为 30，其

7、终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为 .5.分别写出在下列位置上的角的集合：（1）y轴负半轴；（2）轴；（3）第一、三象限角平分线；（4）第四象限角平分线【C组】：已知A锐角，B0到90的角，C第一象限角，D小于90的角求: AB，AC，CD，AD 1.1.2 弧度制（1）【学习目标】A级. 掌握弧度制的定义；B级. 学会弧度制与角度制互化C级. 了解角的集合与实数集R一一对应关系.【学习重点】：理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.【学习难点】：弧度的概念及其与角度的关系.【学习过程】一、知识再现（预习教材P6 P8，找出疑惑之处）复习1：写出写出终边在下列位置的角的集合.（1）x轴

8、： . （2）y轴： . （3）第三象限： . （4）第一、三象限： .复习2：角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.二、新知探究探究任务：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 这种度量角的单位制称为 .试试：如图：AOB= rad ；AOC= rad 探究：如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点. 请完成表格.的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针逆时针10新知： 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数,零角的弧度数是 . 角a的弧

9、度数的绝对值 . （为弧长，为半径）试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表.角度030456090120135150180210弧度角度225240270300315330360弧度正角零角负角正实数零负实数反思： 1等于 度；等于 弧度. 角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 典型例题例1把化成弧度. 变式：把化成度.小结：在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可省略，如：3表示3rad ，sinp表示prad角的正弦.例2用弧度制表示：（1）终边在轴上的角的集合；（2）终边在轴上的角的集合. 变式：终边在坐标轴上的角的集合.

10、学习小结1. 弧度数定义；2. 换算公式（180=p rad）；3. 弧度制与角度制互化.【A组】：1. 把化成弧度表示是（ ）. A. B. C. D. 2. 若3，则角的终边在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3 下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ）.A. B. C. D. 4. 半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 .5. 化为度表示是 .6. 用弧度制表示终边在下列位置的角的集合：（1）直线y=x； （2）第二象限.【B组】：1. 求值：.2. 现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.1.1.2 弧度制（2）

11、【学习目标】：A级. 掌握弧度制的定义；B级. 学会弧度制与角度制互化；C级. 了解角的集合与实数集R一一对应关系.【学习重点】：扇形弧长公式、面积公式【学习难点】：弧度制的运用【学习过程】一、知识再现（预习教材P9 P11，找出疑惑之处）复习1：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1. 1等于 度；等于 弧度.角度制下，扇形弧长公式为 ；弧度制下，扇形弧长公式为 ；复习2：将下列弧度与角度进行互化.= ； = ；210= ； 75= .二、新知探究例1利用弧度制证明扇形面积公式：，其中是扇形弧长，是圆的半径.变式：推导.小结：一种方法是先求1弧度扇形的面积，再求弧长为、半径为R的扇

12、形面积；另一种方法是根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.例2 已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.OAB变式：已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求此扇形中心角的弧度数小结：紧扣公式“S”与“”，可以设扇形的半径为，弧长为，列方程组而求.例3计算sin、cos. 变式：求、的正弦、余弦、正切.学习小结1. 扇形弧长公式、面积公式；2. 弧度制的运用.【A组】：1. 半径为12cm的圆上，有一条弧长为24cm，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 2. 圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）.A.扇形的

13、面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍3. 若扇形的圆心角2，弧长l3，则该扇形的面积S（ ）. A. 3 B. C. 6 D. 64. 直径为20cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长： ； .【B组】：1.与的终边相同，且00且tan0 ； （2） tan cos0且tan0，则所在的象限为 .【B组】：1. 确定下列各式的符号 （1）sin100cos240 ； （2）sin5+tan5.2. 已知且.（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号.1.2.1 任意角的三角函数（3）【学习目标】：A级. 理解正弦线、余

14、弦线、正切线的概念；B级. 掌握作已知角的正弦线、余弦线和正切线；C级. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及求解简单的三角不等式.【学习重点】：单位圆中的正弦线、余弦线、正切线【学习难点】：三角函数线的应用【学习过程】一、知识再现（预习教材P18 P19，找出疑惑之处）复习1：求下列三角函数的值.（1）； （2）； （3）复习2：在直角坐标系中,我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为 .如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点，则： ， ，.二、新知探究探究任务一：三角函数线的概念问题1：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）

15、.作为角的函数三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？新知1：规定了方向的线段为有向线段. 由于坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向，我们规定：与坐标轴方向一致时为 ，与坐标方向相反时为 .试试1：画出下列角度与单位圆的交点P，并作x轴的垂线PM，写出PM、OM的值，并与正弦、余弦值比较：（1）120； （2）240.新知2：设角的终边与单位圆交点P(x，y),过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP为正弦线，OM为余弦线.试试2：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.问题2：如何用有向线段来表示角的正

16、切呢?过点A(1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T，则有向线段 叫角的正切线.我们把这三条与单位圆有关的有向线段，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.反思：当终边在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线又是怎样的情形呢？典型例题例1已知，比较的大小. 变式：，结果又如何？例2利用单位圆求适合下列条件的0到360的角.（1）sina； （2） tana.变式：利用单位圆写出符合下列条件的角的范围.（1）； （2）.小结：从大小比较及解三角不等式中，我们可以体会三角函数线的用处和实质.练1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：（1）与； （2）与.练2. 分别根据下列条件，

17、写出角的取值范围：（1） ； （2）.学习小结1. 三角函数线概念与作法2. 利用单位圆比较三角函数值大小，求角的范围.【A组】：1. 下列大小关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 以上都不正确2. 利用余弦线，比较的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 无法比较3. .4. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.（1）；（2）；（3）；（4）【B组】：1.利用正弦线，求得满足条件，且在0到360的角为（ ）. A. 或 C. 或 C. 或 C. 或2.不等式的解集为 .3.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围：（1）sinx=；（2）tanx；（3）.1.2.2 同角三角函数的

18、基本关系（1）【学习目标】：A级. 掌握同角三角函数的三个基本关系式；B级. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.【学习重点】：掌握同角三角函数关系，推导及应用【学习难点】：公式的推导及应用 【学习过程】一、知识再现（预习教材P21 P22，找出疑惑之处）复习1：任意角的三个三角函数是怎样定义的？复习2：初中研究锐角的三个三角函数，它们有怎样的关系式？二、新知探究探究任务一：同角三角函数的基本关系问题：从三个三角函数的定义，你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？新知：平方关系；商数关系. 试试：利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本

19、关系.反思： 上述两个关系式，在一些什么情况下成立？ “sincos1”对吗？ 同角三角函数关系式可以解决哪些问题？典型例题例1已知cos，并且它是第三象限的角，求sin，tan的值.变式：已知cos，求sin，tan的值.小结： 定义法；基本关系式法. 如果是填空、选择，还可以走捷径求解. 注意符号（象限确定）及同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二.例2 化简，且在第二象限.练1. （1）已知sin，求cos，tan的值. （2）已知tan=3，求sin，cos练2. 化简：（1）costan； （2）； （3）.学习小结1.给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出

20、其它三角函数值.2.化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值）【A组】：1.化简为（ ）. A. B. C. D 2.若，且在第三象限，则tan=（ ）. A. B. C. D. 3.若tan=，且，则sin=（ ）. A. B. C. B. 4.化简：tan cos= .5.已知，则 .6. 已知且是第二象限角，求的值【B组】：1. 已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值.2.已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos1.2.2 同角三角函数的基本关系（2）【学习目标】：A级. 能熟练运用同角三角函数的三个基本关系式；B级.

21、 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值；C级. 能够利用三角函数的基本关系式化简三角函数式，并证明有关的三角恒等式.【学习重点】：熟练运用同角三角函数的三个基本关系式【学习难点】：应用公式证明有关的三角恒等式.【学习过程】一、知识再现（预习教材 P22 P25，找出疑惑之处）复习1：同一个角的三角函数有哪些基本关系式？复习2：根据下列条件，求角的其它三角函数值. （1）sin,在第四象限； （2）tan2.二、新知探究探究任务：三角恒等式的证明问题：用多种方法证明.分析：由题义知，所以从左边开始，有下面两种证法：证法一： 证法二：类似地从右边开始，同样有两种证法：证法三：

22、= 证法四：=证法五：(1+sinx)(1-sinx)新知：证明三角恒等式的方法.（1）直接证明左边等于右边；（2）由其它等式而转化，例如先证交叉乘积相等；（3）或证和（差），或证商，即比较法；变式：若，试求的值.典型例题例1 已知tan.（1）求的其它三角函数的值；（2）求的值.变式：求的值.小结：注意技巧（弦化切、巧用分母1）.例2 已知，求.小结：平方法；方程组思想.动手试试练1. 已知是第三象限角，化简：.学习小结1. 注意象限定符号和灵活运用三角函数关系式；2. 注意技巧：平方；切化弦；1的妙用. 知识拓展基本关系式的等价变形： sin2x1cos2x；cos2x1sin2x；sin

23、x；cosx；(sinxcosx)212 sinxcosx；sinxcosx tanx；cosx；1tan2x.【A组】：1. 化简（ ）.A. a B. b C. D. 02. 已知tan=2，则sin=（ ）. A. B. C. D. 3. 化简： .4. 已知，则= .【B组】：1.若，则（ ）.2.已知，求的值3.已知tan=2，求下列各式的值：（1）； （2）.1.3 三角函数的诱导公式（1）【学习目标】：A 级. 掌握、等诱导公式；B级. 能熟练运用诱导公式进行化简与求值.【学习重点】：用联系的观点，发现并证明诱导公式【学习难点】：引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现

24、问题，解决问题【学习过程】一、知识再现（预习教材P26 P29 ，找出疑惑之处）复习1：写出2k的诱导公式.sin(2 k+)= ； cos(2 k+)= ；tan(2 k+)= .（kZ）特征： 终边相同的角的同一三角函数值 ； 把求任意角的三角函数值问题转化为求0360角的三角函数值问题.复习2：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为 . 角的终边与单位圆交于点P(x, y)，则sin ；cos= .tan .二、新知探究探究任务：诱导公式问题1：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到02后，又将如何将02间的角转化到0呢？方法：设090， 则90180间角，可写成180；18

25、0270间的角，可写成 ；270360间的角，可写成 .问题2：与终边有何关系？设交单位圆于P(x, y)、P，则P坐标怎样？ 试试：计算sin()、cos()、tan()，并与sin、cos、tan比较.新知：诱导公式（二）.sin()= ；cos() = ；tan() = .问题3：仿上面的步骤推导、的诱导公式.反思： 如何由、的诱导公式得到的诱导公式？变角： 比较四组诱导公式，观察符号情况？口诀：函数名不变，符号看象限. （“符号”是把任意角看成锐角时，所在象限的三角函数值的符号.）典型例题例1求值：（1）sin225； （2）cos；（3） sin()； （4）cos（）.变式：求ta

26、n（2040）的值.小结：运用诱导公式的格式；注意符号.例2 化简.动手试试练1. 已知cos(x)0.5，求cos(2x)的值. 学习小结1. 四组诱导公式的推导、记忆、运用.2. 化归思想：任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角. 知识拓展用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是： 化负角的三角函数为正角的三角函数； 化大于的正角的三角函数为内的三角函数；化内的三角函数为锐角的三角函数【A组】：1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列式子正确的是（ ）. A. B. C. D. 3. 化简=（ ）. A. B. C. D.

27、 4. .5. cos(x)，则cos(x)= .6.求值cos() ，sin（）【B组】：1. 求证：.2. 已知sin(+)=（为第四象限角），求cos(+)+tan()的值.3.化简：1.3 三角函数的诱导公式（2）【学习目标】：A 级.掌握、两组诱导公式B级.能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明.【学习重点】：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简、证明【学习难点】：直角坐标系内关于直线对称的点的性质与诱导公式的关系【学习过程】一、知识再现（预习教材 P29 P32 ，找出疑惑之处）复习1：写出关于2k+、的四组诱导公式.复习2：推导2的诱导公式.二、新知探究

28、探究任务：的诱导公式问题： 的终边与的终边有何关系？ 关于直线 对称 根据终边的对称关系，你可得到关于的诱导公式吗？新知：诱导公式（五）.，.试试：由前面的诱导公式15，试推导的诱导公式.反思：六组诱导公式的记忆. 六组诱导公式都可统一为“”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. （符号看象限是把看成锐角时原三角函数值的符号）典型例题例1 求证：（1）； （2）.变式：（1） ； （2） .小结：体会口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.例2 已知，计算：（1）； （2）动手试试练1. 求下列各角的三个三角函数的值. （1）（2）（3）1050（4）.练2. 化简：（1）； （2）学习小结诱导公式的记忆是重中之重；利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数的值，这是学习诱导公式的主要目的；注意公式之间的相互联系和变形