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1、圆锥曲线的概念及考察的相关知识1.圆锥曲线的定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D(答:C);(2)方程表示的曲线是_(答:双曲线的左支)(2)第二定义中要
2、注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_(答:2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC0,且A,B,C同号,AB)。如(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为_(答:);(2)若,且,则的最大值是_,的最小
3、值是_(答:)(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_(答:);(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_(答:)(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_(答:)(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物
4、线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,。4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):范围:;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;准线:两条准线; 离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。如(1)若椭圆的离心率,则
5、的值是_(答:3或);(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为_(答:)(2)双曲线(以()为例):范围:或;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;准线:两条准线; 离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;两条渐近线:。如(1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于_(答:或);(2)双曲线的离心率为,则=(答:4或);(3)设双曲线(a0,b0)中,离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_(答:)
6、; (3)抛物线(以为例):范围:;焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);准线:一条准线; 离心率:,抛物线。如设,则抛物线的焦点坐标为_(答:);5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上1;(3)点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线
7、相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_(答:(-,-1));(2)直线ykx1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_(答:1,5)(5,+);(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若AB4,则这样的直线有_条(答:3);(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时
8、,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点作直线与抛
9、物线只有一个公共点,这样的直线有_(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_(答:);(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有_条(答:3);(4)对于抛物线C:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_(答:相离);(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_(答:1);(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为_(填大于、小于或等于) (答:等于);(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答
10、:);(8)直线与双曲线交于、两点。当为何值时,、分别在双曲线的两支上?当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:;);7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为_(答:);(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于_;(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_(答:);(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_(答:);(5)
11、抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为_(答:2);(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_(答:);8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中, ,且当即为短轴端点时,最大为;,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:;。如(1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为_(答:6);(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|
12、PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:);(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当0时,点P的横坐标的取值范围是(答:);(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则_(答:);(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程(答:);9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则AMFBMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则
13、PAPB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。10、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设为,则。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_(答:8);(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原
14、点,则ABC重心的横坐标为_(答:3);11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。如(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答:);(2)已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x2y=0上,则此椭圆的离心率为_(答:);(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:); 特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必
15、别忘了检验!12你了解下列结论吗?(1)双曲线的渐近线方程为;(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,0)。如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_(答:)(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线的焦点弦为AB,则;(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程:(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2
16、)求轨迹方程的常用方法:直接法:直接利用条件建立之间的关系;如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程(答:或);待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:);定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=600,则动点P的轨迹方程为(答:);(2)点M与点F(4,0)的距
17、离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_ (答:);(3) 一动圆与两圆M:和N:都外切,则动圆圆心的轨迹为(答:双曲线的一支);代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为_(答:);参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MNAB,垂足为N,在OM上取点,使,求点的轨迹。(答:);(
18、2)若点在圆上运动,则点的轨迹方程是_(答:);(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是_(答:);注意:如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F1(c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足(1)设为点P的横坐标,证明;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使F1MF2的面积S=若存在,求F1MF2的正切值;若
19、不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2);(3)当时不存在;当时存在,此时F1MF22)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:(1) 给出直线的方向向量或
20、;(2)给出与相交,等于已知过的中点;(3)给出,等于已知是的中点;(4)给出,等于已知与的中点三点共线;(5) 给出以下情形之一:;存在实数;若存在实数,等于已知三点共线.(6) 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,(8)给出,等于已知是的平分线/(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;(10) 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12) 在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点
21、);(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);(14)在中,给出等于已知通过的内心;(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);(16) 在中,给出,等于已知是中边的中线;求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了。例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,P为双曲线上一点。求的最小值。
22、 解析:如图所示, 双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。 二. 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数) ,而 再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则 消去t,得轨迹方程三. 数形结合,直观显示将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例3. 已
23、知,且满足方程,又,求m范围。 解析:的几何意义为,曲线上的点与点(3,3)连线的斜率,如图所示 四. 应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。例4. 已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为_。 解: 五. 应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例5. 已知椭圆:,直线:,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点Q的轨迹方程。 分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解
24、题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解:如图,共线,设,则, 点R在椭圆上,P点在直线上 , 即 化简整理得点Q的轨迹方程为: (直线上方部分)六. 应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 则圆心为,在直线上 解得 故所求的方程为七. 巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹
25、方程。 解:设,则 得 即 设P1P2的中点为,则 又,而P1、A、M、P2共线 ,即 中点M的轨迹方程是解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT
26、=t (0t1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; (3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为;(2)由方程组解出、; (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的
27、矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后,得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知,得=0即 在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得 令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得 代入式并整理,得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 讲解:(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为
28、(2)把中消去y,整理得 . 设的中点是,则 即故所求k=.为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且F1PF2的最大值为90,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,ABF2的面积最大值为12 (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得,解出 (2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当k存在时,设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入,消去得 ,整理为的一元二次方程,得 .则x1、x2是上述方程的两根且,也可这样求解: ,
29、AB边上的高 ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:设过左焦点的直线方程为:(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)椭圆的方程为:由得:于是椭圆方程可化为:把代入并整理得:于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而当且仅当m=0取等号,即由题意知, 于是 .故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上.()求此椭圆的离心率;(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程.讲解:(
30、1)设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理,得 线段AB的中点坐标为(). 由已知得,故椭圆的离心率为 . (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 ,故所求的椭圆方程为 .例6 已知M:轴上的动点,QA,QB分别切M于A,B两点,(1)如果,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:(1)由,可得由射影定理,得 在RtMOQ中, ,故,所以直线AB方程是(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得由射影定理得即 把(*)及(*)消去a,并注意到,可得适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. 例
31、7 如图,在RtABC中,CBA=90,AB=2,AC=。DOAB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;A O B C(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设,试确定实数的取值范围讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点P的轨迹是椭圆曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程,得设M1(, 则 i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, 由得 又, 或 01 ,而
32、 , ,的取值范围是 . 值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点. (1)求证:;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若lx轴,则l的方程为.若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得. 综上可知 .(2)设,则CD的垂直平分线的方程为假设过F,则整理得 ,. 这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点,因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线.此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本!例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,APB=60,试说明怎样运土石最省工?讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP|AP|=50,M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.17