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1、第2讲用样本估计总体板块一知识梳理自主学习必备知识考点1用样本的频率分布估计总体分布1作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)(2)决定组距与组数(3)将数据分组(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线3茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数考点2用样本的数字特征估计总体的数字特征1众数：一组数据中出现次数最多的数
2、2中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数3平均数：，反映了一组数据的平均水平4标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s.5方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)必会结论频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平均数
3、、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论()(3)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中()(4)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了()(5)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()答案(1)(2)(3)(4)(5)22017芜湖模拟某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知12时至16时的销售额为90万元，则1
4、0时至12时销售额为()A.120万元 B100万元 C80万元 D60万元答案D解析由图可知12时至16时频率为0.45，销售额90万元，10时至12时频率为0.3，销售额为9060万元故选D.3如图是2017年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为()A85,84 B84,85 C86,84 D84,86答案A解析由图可知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为85，众数为84.4课本改编在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方
5、形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A28 B40 C56 D60答案B解析设中间一个小长方形面积为x，其他8个长方形面积为x，因此xx1，x.所以中间一组的频数为14040.故选B.52015湖北高考某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_答案(1)3(2)6000解析(1)由0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得a3.(2)区间0.3,0
6、.5)内的频率为0.11.50.12.50.4，故0.5,0.9内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.6100006000.板块二典例探究考向突破考向频率分布直方图的应用例12016山东高考某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D140答案D解析由频率分布直方图知这200名
7、学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1(0.020.10)2.50.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140.故选D.触类旁通应用频率分布直方图应注意的问题(1)频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，表示数据分布的规律(2)图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小(3)要把握一个基本公式：频率.【变式训练1】为了解某校高三学生联考的数学成绩情况，从该校参加联考学生的数学成绩中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为12863，第五组的频数为
8、6，则样本容量为_答案40解析因为第一组至第五组的频率之比为12863，所以可设第一组至第五组的频率分别为k,2k,8k,6k,3k，又频率之和为1，所以k2k8k6k3k1，解得k0.05，所以第五组的频率为30.050.15，又第五组的频数为6，所以样本容量为40.考向茎叶图的应用例22017山东高考如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A3,5 B5,5 C3,7 D5,7答案A解析甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y5.又甲、乙两组数据的平均值相等，(5665627470x
9、)(5961676578)，x3.故选A.触类旁通茎叶图的绘制及应用(1)一般制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列出(2)估计数字特征，给定两组数据的茎叶图，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小【变式训练2】2018长沙模拟下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是()A15名女生成绩的平均分为78B17名男生成绩的平均分为77C女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重
10、答案C解析15名女生成绩的平均分为(909380808282838385707173756657)78，A正确；17名男生成绩的平均分为(9393968082838686887174756262685357)77，故B正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误考向数字特征的应用命题角度1样本数字特征与直方图交汇例32018益阳模拟为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论
11、错误的是()A该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25B该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5C该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32答案D解析由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错命题角度2样本的数字特征与茎叶图例4将某选
12、手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为_答案解析由图可知去掉的两个数是87,99，所以879029129490x917，x4.s2(8791)2(9091)22(9191)22(9491)22.命题角度3样本的数字特征与优化决策问题例5某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是
13、哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定解(1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样(2)茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：x1(10210199981039899)100，方差：s(102100)2(101100)2(99100)2.乙车间：平均值：x2(110115908575115110)100，方差：s(110100)2(115100)2(110100)2.x1x2，s0.5，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5，所以2xs，故甲更稳定10某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频
14、率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100则(1)图中的x_；(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有_名学生可以申请住宿答案(1)0.0125(2)72解析x等于该组的频率除以组距20.由频率分布直方图知20x120(0.0250.00650.0030.003)，解得x0.0125.上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072(名)学生可以申请住宿B级知能提升1为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据
15、整理后，作出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为135，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是()A35 B48 C60 D75答案C解析设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.03750.0125)50.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为135，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n60.22015安徽高考若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A8 B15 C16 D32答案C解析已知样本数据x1，x2，x10的标
16、准差为s8，则s264，数据2x11,2x21，2x101的方差为22s22264，所以其标准差为2816.3.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(7099分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a_；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是_答案5甲组解析由题意可知89，解得a5.因为s(142109262)，s(1324209282)，所以ss，故成绩相对整齐的是甲组42018南宁模拟某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由；(2)若从甲、乙两人90分以上的成绩中各
17、随机抽取1次，求抽到的2次成绩均大于95分的概率解(1)由茎叶图可知，甲的平均成绩，甲89，乙的平均成绩乙89，甲、乙的平均成绩相等又甲成绩的方差s(7989)2(8489)2(8589)2(8789)2(8789)2(8889)2(9389)2(9489)2(9689)2(9789)230.4，乙成绩的方差s(7589)2(7789)2(8589)2(8889)2(8989)2(8989)2(9589)2(9689)2(9789)2(9989)260.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适(2)从甲、乙两人90分以上的成绩中各随机抽取1次的不同结果有(93,95)，(93,
18、96)，(93,97)，(93,99)，(94,95)，(94,96)，(94,97)，(94,99)，(96,95)，(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,95)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共16种记“抽到的2次成绩均大于95分”为事件A，则事件A的结果有(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共6种因此抽到的2次成绩均大于95分的概率P(A).52017云南统一检测某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200
19、人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分0,20)30.0151620,40)ab32.140,60)250.1255560,80)c0.57480,100620.3188(1)求a、b、c的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分解(1)由题意可得，b1(0.0150.1250.50.31)0.05，a2000.0510，c2000.5100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人P0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为73，这次数学测验的年级平均分大约为73分16
