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1、第24课矩形、菱形与正方形,基础知识 自主学习,1有一个角是 的平行四边形是矩形矩形的四个角都是，对角线 矩形的判定方法：(1)有三个角是 的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是；(3)的平行四边形；(4)的四边形,要点梳理,直角,直角,相等且互相平分,直角,直角,对角线相等,对角线相等且互相平分,2有一组 的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都，对角线，且每一条对角线 菱形的判定方法：(1)四条边都；(2)有一组 的平行四边形；(3)对角线 的平行四边形；(4)对角线 的四边形,邻边相等,相等,互相垂直平分,平分一组对角,相等,邻边相等,互相垂直,互相垂直平分,3有一组邻边相等且有一个角是直角
2、的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是，四条边都，两条对角线，并且 每一条对角线 正方形的判定方法：(1)邻边相等的；(2)有一角是直角的,直角,相等,互相垂直平分,平分一组对角,相等,矩形,菱形,难点正本疑点清源 平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别 以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我们可得出矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形，它们之间既有联系又有区别 矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形 菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础
3、上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形),基础自测,1(2011乌兰察布)如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 MN 不可能是()A360 B540 C720 D630 答案D 解析当直线将矩形分割成两个三角形时，有MN180，MN360；当直线将矩形分割成一个三角
4、形和一个四边形时，不妨设M180，N360，则MN540；当直线将矩形分割成两个四边形，有MN360，则MN720.所以MN不可能是630.,2(2011大理)用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A等腰梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案B 解析两个等边三角形可拼成菱形,3(2011天津)如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF的大小为()A15 B30 C45 D60 答案C,4(2011茂名)如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知 ABBC CDDA5公里，村庄C到公路l
5、1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是()A3公里 B4公里 C5公里 D6公里 答案B 解析连接AC，因为ABBCCDDA，所以四边形ADCD是菱形，CA平分DAB，点C到l1的距离等于点C到l2的距离，故选B.,答案A,题型分类 深度剖析,【例 1】如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DEAB，过C作CFDE，垂足为F.(1)猜想：AD与CF的大小关系；(2)请证明上面的结论,题型一矩形,解(1)ADCF.(2)在矩形ABCD中，ABCD，且ABCD，A90，CDFAED.又DEAB，DECD.CFDE，ADFC90，ADEFCD，ADCF.,探究提高矩形四个角都是直角，抓
6、住这一特征，证两个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊三角形,知能迁移1(2011滨州)如图，ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论,解当点O运动到AC的中点(或OAOC)时，四边形AECF是矩形 证明：CE平分BCA，12.又MNBC,13，32，EOCO.同理，FOCO.EOFO.又OAOC,四边形AECF是平行四边形 12，45，1524.又1524180，2490.AECF是矩形,题型二菱形,【例 2】如图，四边
7、形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想,解DEDF.证明：连接BD，在菱形ABCD中，BD平分ABC，DEAB，DFBC，DEDF.探究提高此题可以证明ADECDF，得DEDF；或者连接BD，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”证明DEDF.,知能迁移2(2011济宁)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形解证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OBOD，EDOFBO,OEDOFB，OEDOFB，DEBF
8、.又EDBF，四边形BEDF是平行四边形 EFBD，平行四边形BEDF是菱形,题型三正方形,【例 3】(2012青海)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：AOEBOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕 O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为 什么？,解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！,探究提高正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点,知能迁移3(2011舟山)以四边形ABCD的边AB、
9、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH.(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC(090).试用含的代数式表示HAE；求证：HEHG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.,解(1)四边形EFGH是正方形(2)HAE90.证明：在ABCD中，ABCD，BAD180ADC180.HAD和EAB都是等腰直角三角形，HADEAB45，HAE360HADEA
10、BBAD 3604545(180)90.,四边形EFGH是正方形理由如下：由同理可得：GHGF，FGFE.HEHG(已证)，GHGFEHFE，四边形EFGH是菱形 HAEHDG(已证)，DHGAHE.又AHDAHGDHG90，EHGAHGAHE90，菱形EFGH是正方形,题型四特殊平行四边形综合题,探究提高在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要,知能迁移4(2011宿迁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的
11、中点，Q为边CD上一动点，设DQt(0t2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F.(1)当t1时，求证：PEQNFM；(2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值,解(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABD90，ADAB.QEAB，MFBC，AEQMFB90.四边形ABFM、AEQD都是矩形 MFAB，QEAD，MFQE.又PQMN，EQPFMN.又QEPMFN90，PEQNFM.,易错警示,试题在ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，过点A作BC的垂线
12、分别交BC于点D，交FH于M，求证：FMMH.学生答案展示 如图，四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFHABC.52.3190，3290，12，15.14，45.AMFM.同理，AMAH，故FMMH.,15不认真画图导致错误,剖析上述解法错在将BAC画成了直角(题中没有这个条件！)从而导致FAH、BAC和1、4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误,正解分别过F、H画FKMD，HLMD，垂足为K、L.四边形ACGH是正方形，ACAH，CAH90，1290.ADBC，2390，13.又HLAADC90，AHLCAD.HLAD.同
13、理：AFKBAD.FKAD.FKHL.又FMKHML，FKMHLM90，FMKHML.FMMH.,批阅笔记证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而导致错误.,思想方法 感悟提高,方法与技巧 1.平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质 2.利用一般与特殊的关系，明确各四边形的从属关系，系统掌握特殊平行四边形的性质定理和判定定理,失误与防范 1在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别，解决此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键 2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常将它与直角三角形的其他性质联合运用，解决直角三角形中的计算或论证问题,完成考点跟踪训练24,
