八年级下:第17章《勾股定理》.doc

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1、17.1勾股定理学案(1) 【学习目标】:1了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。【学习重点】:勾股定理的内容及证明。【学习难点】:勾股定理的证明。【学习过程】一、课前预习1、直角ABC的主要性质是:C=90(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系: (2)若D为斜边中点,则斜边中线 (3)若B=30,则B的对边和斜边: 2、(1)、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC,用刻度尺量出AB的长。(2)、再画一个两直角边为5和12的直角ABC,用刻度尺量AB的长问题:你是否发现+与,+和的关系,即+ ,+ ,二

2、、自主学习(1)观察图11。A的面积是_个单位面积;B的面积是_个单位面积;C的面积是_个单位面积。思考: (图中每个小方格代表一个单位面积)(2)你能发现图11中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系吗?图12中的呢?(3)你能发现图11中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗?(4)你能发现课本图13中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗?(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由。由此我们可以得出什么结论?可猜想:命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么_。三、合作探究勾股

3、定理证明:方法一;如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。S正方形_方法二;已知:在ABC中,C=90,A、B、C的对边为a、b、c。求证:a2b2=c2。分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。左边S=_右边S=_左边和右边面积相等,即 化简可得。勾股定理的内容是: 。四、课堂练习1、在RtABC中, ,(1)如果a=3,b=4,则c=_;(2)如果a=6,b=8,则c=_;第4题图S1S2S3(3)如果a=5,b=12,则c=_;(4) 如果a=15,b=20,则c=_. 2、下列说法正确的是()A.若、是ABC的三边,则B.若、是RtABC的三边,

4、则C.若、是RtABC的三边, 则D.若、是RtABC的三边, ,则3、一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S125,S2144,则另一个的面积S3为_ 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。五、课堂小测1在RtABC中,C=90,若a=5,b=12,则c=_;若a=15,c=25,则b=_;若c=61,b=60,则a=_;若ab=34,c=10则SRtABC=_。2、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为

5、 。3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。 4、已知,如图在ABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高求 AD的长;ABC的面积17.1勾股定理学案(2) 【学习目标】:1会用勾股定理进行简单的计算。2勾股定理的实际应用,树立数形结合的思想、分类讨论思想。【学习重点】:勾股定理的简单计算。【学习难点】:勾股定理的灵活运用。【学习过程】一、课前预习1、直角三角形性质有:如图,直角ABC的主要性质是:C=90,(用几何语言表示)ACB(1)两锐角之间的关系: ;(2)若B=30,则B的对边和斜边: ;(3)直角三角形斜边上的 等于斜边的 。(4)三边之间的关系

6、: 。(5)已知在RtABC中,B=90,a、b、c是ABC的三边,则c= 。(已知a、b,求c)a= 。(已知b、c,求a) b= 。(已知a、c,求b).2、(1)在RtABC,C=90,a=3,b=4,则c= 。BC1m 2mA实际问题数学模型(2)在RtABC,C=90,a=6,c=8,则b= 。(3)在RtABC,C=90,b=12,c=13,则a= 。二、自主学习例1:一个门框的尺寸如图所示若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?若薄木板长3米,宽1.5米呢?若薄木板长3米,宽2.2米呢?(注意解题格式)分析: 木板的宽2.2米大于1米,所以横着不能从门框内通过木板的

7、宽2.2米大于2米,所以竖着不能从门框内通过因为对角线AC的长度最大,所以只能试试斜着能否通过所以将实际问题转化为数学问题三、合作探究例2、如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗?(计算结果保留两位小数)分析:要求出梯子的底端B是否也外移0.5米,实际就是求BD的长,而BD=OD-OBOBDCACAOBOD四、课堂练习BAC 1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框,需要在其相对的顶点间用一条木条加固,则需木条长为 。第2题2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电

8、线杆底部B的距离为 。3、有一个边长为50dm的正方形洞口,想用一个圆盖盖住这个洞口,圆的直径至少为 (结果保留根号)4、一旗杆离地面6m处折断,其顶部落在离旗杆底部8m处,则旗杆折断前高 。如下图,池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点测得CB60m,AC20m,你能求出A、B两点间的距离吗?AEBDC5、如图,滑杆在机械槽内运动,ACB为直角,已知滑杆AB长100cm,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时,滑杆顶端A下滑多长?五、课堂小结谈谈你在本节课里有那些收获?六、课堂小测1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三

9、边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm2、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为 ,斜边上的高的长为 。3、如图,在ABC中,ACB=900,AB=5cm,BC=3cm,CDAB与D。求:(1)AC的长; (2)ABC的面积; (3)CD的长。 17.1勾股定理学案(3) 【学习目标】:1能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的思想。2会用勾股定理解决简单的实际问题。ABCD【学习重点】:运用勾股定理解决数学和实际问题【学习难点】:勾股定理的综合应用。【学习过程】一、课前预习1、(1)在RtABC

10、,C=90,a=3,b=4,则c= 。(2)在RtABC,C=90,a=5,c=13,则b= 。2、如图,已知正方形ABCD的边长为1,则它的对角线AC= 。 二、自主学习例:用圆规与尺子在数轴上作出表示的点,并补充完整作图方法。步骤如下:1在数轴上找到点A,使OA ;2作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB ;3以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点三、合作探究例3(教材探究3)分析:利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图,已知OA=OB, (1)说出数轴上点A所表示的数(2)在数轴上作出对应的点四、课堂

11、练习1、你能在数轴上找出表示的点吗?请作图说明。2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。3、已知:如图,等边ABC的边长是6cm。(1)求等边ABC的高。 (2)求SABC。五、课堂小测1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,则第三边长为 。2、已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为 ,面积为 。3、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示的点。5、已知:在RtABC中,C=90,CDAB于D,A=60,CD=,求线段AB的长。 17.2勾股定理逆定理学案(1) 【学习目标】:1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程;2、理解互

12、逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系;3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.【学习重点】:勾股定理的逆定理及其应用。【学习难点】:勾股定理的逆定理的证明。【学习过程】一、课前预习ABC1、勾股定理:直角三角形的两条_的平方_等于_的_,即_.2、填空题(1)在RtABC,C=90,8,15,则 。(2)在RtABC,B=90,3,4,则 。(如图)3、直角三角形的性质(1)有一个角是 ;(2)两个锐角 ,(3)两直角边的平方和等于斜边的平方:(4)在含30角的直角三角形中,30的角所对的 边是 边的一半二、自主学习1、怎样判定一个三角形是直角三角形?2、下面的三组

13、数分别是一个三角形的三边长a.b.c5、12、13 7、24、25 8、15、17(1)这三组数满足吗?(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?猜想命题2:如果三角形的三边长、,满足,那么这个三角形是 三角形问题二:命题1: 命题2: 命题1和命题2的 和 正好相反,把像这样的两个命题叫做 命题,如果把其中一个叫做 ,那么另一个叫做 由此得到勾股定理逆定理: 三、合作探究命题2:如果三角形的三边长、满足,那么这个三角形是直角三角形.已知:在ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且求证:C=90思路:构造法构造一个直角三角形,使它与原三角形全等,利用对应角相

14、等来证明证明:四、课堂练习1、判断由线段、组成的三角形是不是直角三角形:(1); (2)2、说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行,内错角相等(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等(3)全等三角形的对应角相等(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等五、课堂小结1、什么是勾股定理的逆定理?如何表述?2、什么是命题?什么是原命题?什么是逆命题?六、课堂小测1、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是_,能构成直角三角形的是_(填序号)3,4,5 1,3,4 4,4,6 6,8,10 5,7,2 13,5,12 7,25,242、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角

15、形的是( ) A5,6,7 B1,4,9 C5,12,13 D5,11,123、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是( )A、a=9,b=41,c=40 B、a=b=5,c= C 、abc=345 D a=11,b=12,c=154、若一个三角形三边长的平方分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是( ) A42 B52 C7 D52或75、命题“全等三角形的对应角相等”(1)它的逆命题是 。(2)这个逆命题正确吗?(3)如果这个逆命题正确,请说明理由,如果它不正确,请举出反例。七、课后反思17.2勾股定理逆定理学案(2) 【学习目标】:1、勾股

16、定理的逆定理的实际应用;2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合.【学习重点】:勾股定理的逆定理及其实际应用。【学习难点】:勾股定理逆定理的灵活应用。【学习过程】一、课前复习1、判断由线段、组成的三角形是不是直角三角形:(1);(2) (3)2、写出下列真命题的逆命题,并判断这些逆命题是否为真命题。(1)同旁内角互补,两直线平行;解:逆命题是: ;它是 命题。(2)如果两个角是直角,那么它们相等;解:逆命题是: ;它是 命题。(3)全等三角形的对应边相等;解:逆命题是: ;它是 命题。(4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等;解:逆命题是: ;它是 命题。二、自主学习1

17、、勾股定理是直角三角形的 定理;它的逆定理是直角三角形的 定理.2、请写出三组不同的勾股数: 、 、 .3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线:南偏东30;西南方向;北偏西60.三、合作探究例1:“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?四、课堂练习1、已知在ABC中,D是BC边上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求SABC.2、如图,南北向MN为我国领域,即MN以西为我国领海,以东为公海.

18、上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?分析:为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述“子问题”:(1)ABC是什么类型的三角形?AMENCB(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少?(3)走私艇C最早会在什么时间进入? 五、课堂小结你能搞清楚各个方向方位吗?本节课你还有哪些收获?六、课堂小测1、一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长

19、分别为 ,此三角形的形状为 。2、已知:如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,AD=,B=90,求四边形ABCD的面积. CABEN133、如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西n,问:甲巡逻艇的航向?七、课后反思 17.2勾股定理逆定理学案(3) 【学习目标】:复习勾股定理及其逆定理,能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.【学习重点】:勾股定理及其逆定理的应用。【学习难点】:利用定理解

20、决实际问题。【学习过程】一、知识要点1:直角三角形中,已知两边求第三边91510241.勾股定理:若直角三角形的三边分别为,则 。公式变形:若知道,则 ;公式变形:若知道,则 ;公式变形:若知道,则 ;例1:求图中的直角三角形中未知边的长度: , .练一练 (1)在Rt中,若,则 .(2)在Rt中,若,则 .(3)在Rt中,若,则 .二、知识要点2:利用勾股定理在数轴找无理数。例2:在数轴上画出表示的点.练一练 在数轴上作出表示的点三、知识要点3:判别一个三角形是否是直角三角形。例3:分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,

21、试找出哪些能够成直角三角形。练一练 1、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A12,15,17 B9,16,25 C5a,12a,13a(a0) D2,3,42、判断由下列各组线段,的长,能组成的三角形是不是直角三角形,说明理由.(1),; (2),;(3),; (4),;四、知识要点4:利用列方程求线段的长ADEBC例4:如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?练一练 如图,某学校(A点)与公路(直线

22、L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离五、知识要点5:构造直角三角形解决实际问题ABC例5:如图,小明想知道学校旗杆AB的高,他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能求出旗杆的高度吗?练一练一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm,杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的长度为2cm,则这玻璃杯的形状是 体.六、课后巩固练习(一)填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是 .2、直角三角形一直角边为

23、12 cm,斜边长为13 cm,则它的面积为 .3、斜边长为l7 cm,一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是( ) A60 cm2 B30 cm2 C90 cm2 D120 cm24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、,则以为边的正方形的面积为 .5、若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是 .6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm,16cm,20cm,则这块三角形铁皮余料的面积为 cm27、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm(二)解答题1、在数轴上作出表示的点2、已知,如图在ABC中,AB

24、=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高求:AD的长;ABC的面积3、如图,已知在ABC中,CDAB于D,AC20,BC15,DB9CABD图4(1)求DC的长;(2)求AB的长;(3)求证:ABC是直角三角形4、如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,顶角BAC=120,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。(结果保留根号)5、(09年甘肃定西)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACBECD90,D为AB边上一点,求证:(1);(2)6、(09牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长7、(09湖北十堰)如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60方向,办公楼B位于南偏东45方向小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向求教学楼A与办公楼B之间的距离(结果精确到01米)(供选用的数据:1414,1732)16

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