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1、考点1,考点2,考点3,考点4,考 纲 解 读,返回目录,考 向 预 测,返回目录,1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属于低档题.2.空间向量是一种重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处.,返回目录,1.空间向量（1）定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的 叫做向量的长度或模.,大小,方向,大小,返回目录,（3）特殊向量 零向量:我们规定，的向量叫做零
2、向量，记为.单位向量：的向量称为单位向量.相反向量：，称为a的相反向量，记为-a.,（2）表示方法：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示，向量a的起点是A，终点是B，则向量a 也可以记作AB，其模记为 或.,|a|,|AB|,长度为0,0,模为1,与向量a长度相等而方向相反的向量,相等向量：的向量称为相 等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的数乘运算（1）定义：实数与空间向量a的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算.（2）向量a与a的关系当0时，a与a方向.当=0时，a=.当0时，a与a方向.a的长度是a的长
3、度的 倍，即|a|=.,返回目录,方向相同且模相等,a,相同,0,相反,|,|a|,（3）运算律分配律：(a+b)=.结合律：(a)=()a.3.共线向量（1）共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量.（2）共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b0)，ab的充要条件是存在实数,使.（3）共线向量的推论,返回目录,a+b,互相平行或重合,a=b,如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta,其中a叫做直线l的.如图所示，若在l上取AB=a，则
4、式可化为OP=.4.共面向量（1）共面向量的定义：通常把 的向量，叫做共面向量.（2）共面向量定理：,返回目录,方向向量,OA+tAB,平行于同一个平面,如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb.（3）共面向量定理的推论：如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件 是存在有序实数对(x,y)，使MP=.或对空间一点O来说，有OP=OM+xMA+yMB.5.两向量的夹角已知两个 向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则 叫做向量a与b的夹角，记作，范围为，如果=，则称a与b,记作.,返回目录,xMA+yMB,非零,A
5、OB,0,互相垂直,ab,6.数量积的定义已知两个非零向量a,b，则 叫做a,b的数量积，记作ab，即ab=.零向量与任何向量的数量积为0.特别地，aa=.7.数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：（1）(a)b=(ab);（2）ab=ba（交换律）；（3）a(b+c)=ab+ac（分配律）.,返回目录,|a|b|cos,|a|b|cos,a2,|a|2,8.空间向量基本定理 定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z，使得.由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把 叫
6、做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.,返回目录,p=xa+yb+zc,p|p=xa+yb+zc,x,y,zR,a,b,c,a,b,c,9.空间向量的正交分解及其坐标表示设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以e1，e2,e3的公共起点O为原点，分别以e1,e2,e3 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得p=xe1+ye2+ze3.我们把x
7、,y,z称作,记作.此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z).,返回目录,向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,p=(x,y,z),(8)cos=.11.空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2)，则（1）AB=;（2）dAB=|AB|=.,返回目录,(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2,(a2-a1,b2-b1,c2-c1),返回目录,如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量
8、：(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.,考点1 空间向量的线性运算,返回目录,【解析】（1）P是C1D1的中点，AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+D1C1=a+c+AB=a+c+b.(2)N是BC的中点,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+BC=-a+b+AD=-a+b+c.,【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.,（3）M是AA1的中点，MP=MA+AP=A1A+AP=-a+a+c+b=a+b+c，又NC1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，MP+NC1=a+b+c+a+c=a+b+c.,返回目录,返回目录,用已知向量来表示未知向量,一定
9、要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+MN=OA+（MO+OC+CN）=a+-a+c+(b-c)=a-a+c+b-c=a+b+c.,返回目录,返回目录,如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.（1）求证：E,F,G,H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；,【分析】（1）要
10、证E,F,G,H四点共面，可寻求x，y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.,考点2 用空间向量证平行问题,返回目录,【证明】（1）如图,连接BG，则EG=EB+BG=EB+(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面.（2）因为EH=AH-AE=AD-AB=(AD-AB)=BD，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.,返回目录,(1)证明共线问题的方法若A,B,C共线，则存在唯一实数x使AB=xBC.(2)证明共面问题的方法若P,A,B,C共面，则存在实数x,y，使AP=xA
11、B+yAC.(3)证明线面时，可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc，或a与面内向量d满足ad.,返回目录,如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，请选择适当的基底向量证明：（1）EGAC；（2）平面EFG平面AB1C.,证明:(1)取AB=a,AD=b，AA1=c为一组基底，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，EG=ED1+D1G=（a+b），AC=AB+BC=a+b，EG=AC，即EGAC，从而EGAC.(2)由（1）EGAC，同理可得EFB1C，又EGB1C=C,平面EFG平面AB1C.,返回目
12、录,返回目录,考点3 数量积及其应用,如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心.（1）试证A1,G,C三点共线；（2）试证A1C平面BC1D;（3）求点C到平面BC1D的距离.【分析】（1）即证CGCA1.(2)可证CA1BC1=0,CA1BD=0.(3)利用CG=CA1可求.,【解析】（1）证明：CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1.CG=CC1+(C1B+C1D)=(CB+CD+CC1)=CA1,CGCA1,即A1,G,C三点共线.（2）证明：设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且ab=bc=ca=0.CA1=a+b+c,
13、BC1=c-a,CA1BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0,返回目录,CA1BC1,同理可证，CA1BD.又BDBC1=B,因此A1C平面BC1D.(3)由（2）知，A1C平面BC1D，则C到平面BC1D的距离为|OG|,由（1）知CG=CA1,CA1=a+b+c,CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=a,因此|CG|=a.,返回目录,返回目录,用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度
14、，最后利用公式cos=(2)由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中|a|2=aa提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.,返回目录,已知一个60的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求:(1)CD的长;(2)AB与CD成的角的余弦值.,【解析】(1)如图,CAAB,BDAB=120.CD=CA+AD=CA+AB+BD,且CAAB=0,BDAB=0,|CD|2=CDCD=(CA+AB+BD)(CA+AB+BD)=|CA|2
15、+|AB|2+|BD|2+2CABD=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2|CA|BD|cos=62+42+82+268（）=68,|CD|=2,故CD=2.(2)cos=ABCD|AB|CD|=AB(CA+AB+BD)|AB|CD|=|AB|2|AB|CD|=|AB|CD|=,返回目录,如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.（1）求BN的长；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值.【分析】正确利用两向量的夹角公式及模长公式.,考点4 空间向量的线性运算,返回目录,返回目录,【解析】如图所示，
16、以C为原点建立空间直角坐标系.（1）依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).|BN|=.BN的长为.,（2）依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2).BA1CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5.cos=.异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.,返回目录,如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是图矩形，AB=2，AD=1，AA1=3，M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N，使MNDC1?并说明理由.,返回目录,建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐
17、标系.则C1(0,2,3)，M(,2,0)，D（0,0,0）.设N（0,0,h），则MN=(-,-2,h),DC1=(0,2,3),由MNDC1=(-,-2,h)(0,2,3)=-4+3h,当h=3时,MNDC1=0，此时MNDC1,存在NDD1，使MNDC1.,返回目录,返回目录,1.熟练掌握空间向量的运算、性质及其基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理，数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间
18、直角坐标系，使立体几何问题转化为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础.,3.利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零.5.空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解.6.几何中向量问题的解决，选好基底是关键.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
