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1、专题Ol空间向量及其运算考点预测1、空间向量的概念:(1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.(2)向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.UUlUIUUOI(3)向量AB的大小称为向量的模(或长度)，记作AB(4)模(或长度)为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.(5)与向量:长度相等且方向相反的向量称为5的相反向量，记作-a.(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间以同一点O/：一为起用的两个已知向量。、b为邻边作平行四边形OAC
2、B,则以O起点的对角线OC就是/bZ与力的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.ON=(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点O,UUUrUlm1Iiuuir作OA=,OB=b,则BA=b.B3、实数/与空间向量。的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算.当/0时，/5与、方向相同；当/VO时，与。方向相反；当/=0时，/；为零向量，记为3.的长度是。_/的长度的H倍.4、设/,加为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.分配律：I(c+b=Ia+IbI结合律：/(5)=(/，)5.5、如果衣示空间的有向线段所在的直线互相平
3、行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量W,b(bi0),/力的充要条件是存在实数/,使。=/.7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.8、向量共面定理：空间一点R位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对X,y,使AR=XAB+)，AC；或对空间Illin UUU IllUU UUUUUUUUUUUIIUUUl任一定点O,有OR=OA+xAB+)，AC；或若四点R,A,B,C共面，则OR=M)A+yOB+zOC(x+y+Z=1).rIUUIIrIUUU1rIr19、已知两个非零向量。和b,在空间任取一点O,作OA=
4、,OB=6,则蟹OB称为向量,b的夹角，记作独力.两个向量夹角的取值范围是：威力?0,p.10、对于两个非零向量。和力，若密工=2,则向量。，,互相垂直，记作:力.211、己知两个非零向量。和b ,则向MCOS施力称为。，力的数量积，记作。立.即?力冏Meo蝙,力.零向量与任何向量的数量积为0.12、等于的长度同与方在的方向上的投影印os,1的乘积.13若)，力为非零向量，；为单位向量，则有3?5a?e5cos,e；(2)abah=0：(3)5?S叫臂”向)U52,5=J,(4)cos,h=-；(5)晒.j-同忖(4与6反向)IalM14数量乘积的运算律：?力力?5：(2)(/a)?b/(5?
5、)%喉)；(3)(a+h)7ca?cbt!c.15、空间向量基本定理:若三个向量九，不共面,则对空间任一向量方，存在实数组x,y,z,使得分=总+%+.16、三个向量)，b,3不共面，则所有空间向量组成的集合是川方=Ai+yb+z2,x,y,z?/?.这个集合可看作是由向量九b,1生成的，11称为空间的一个基底，；，力，与称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.17、设之，e2,W为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，以之，：，:的公共起点O为原点，分别以5，e2,Z的方向为轴，)，轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系Oz则对于空间任意一个向量方，
6、IlUUrrIIuIU一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=P.存在有序实数组x,y,z,使得P=x1+2+ze3.把”,y,Z称作向量方在单位正交基底e,e2,63下的坐标，记作方二(X,y,z).此时，向量方的坐标是点R在空间直角坐标系Chyz中的坐标(X,z).例1.(2021全国高二课时练习)如图，在三棱锥P-ABC中，/%_!_平面ABC,CBA.AB,AB=BC=a,PA=b.(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PCAB;(2)确定户C在AB上的投影向量，并求CA4.【解析】(I)因为PA_L平面ABC,所以Pe在平面ABC上的投影向后为AC，因为Q4_L
7、平面ABC,ABi而ABC,可得RA_LAB,所以尸AAB=O,因为C4JLA8,所以BcA8=0，所以PCA8=(4+A8+3C)A8=PA48+A3A3+8CA3=o+2+o=2(2)由(1)知:PCB=airAB=,所以PC在AB上的投影向量为：Pd cos ( pc, a心.咎=IpcI/ ab 1 1PeAB ABHMH尸C AB AB a2 网 B a由数量积的几何意义可得：PC-AB=AAB=a2.例2.(2021.福建厦门双十中学高二期中)如图，空间四边形OABC的各边及对角线长为2,E是A8的中点，尸在Oe上，且O户=2FC,设。4=,OB=b，OC=c，(1)用a，bC表示
8、浮1;(2)求向量OA与向量法所成角的余弦值.【解析】(1)因为OA=a,OB=b，OC=J0,则eO,）.D错误.故选：D.IUjU12. （2021全国高二课时练习）如图，在平行六面体ABCz）-AqCQ中，AA,=，AB=bAD=c，点尸在AC上，且A/：PC=2:3,则AP等于（）B.D.A.5552-C5【答案】B【分析】2根据题意得到AP=（AC，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】2因为AP：PC=2:3,所以AP=IAC，根据空间向量的运算法则，可得AP=+AP=4A+(aC-4A)=(4A+4C=A41+-(+C)=A41+(AB+AD)=A41+-A+-AD
9、,IIUiII3,又因为A=,AB=bAD=c所以AP=(+故选：B.3. （2021.浙江绍兴一中高二期中）如图，在正方体48S-A4GR中，点七在AA上，且AE=2ER,2点尸在体对角线AC上，且则下列说法正确的是（）C.A，E,/三点共线D.A，E,F,8四点共面【答案】D【分析】由向量共线判断E,F,B是否共面，然后根据图形判断各选项.【详解】一2一因为AE=2E，AyF=-FC,2222224EF=AyF-AyE=-AyC-AyDl=-（Ay+Ai+AyDi）-=-A,A+-AiBl-AyD.E=E+AA+=-AAA，AAA综AA.是空间的基底，不存在常数上使得E户=女反，因此箭与用
10、不共线，所以，E,EB三点不共线，A错；儿显然在平面ABCO即平面BC。外，因此AICO四点不共面，B错；0。VN尸AE)=,+b,db，d共面，不能构成基底，故选项C错误，=1对于选项D：若a+b,b+C,+W共面，则+=%()+c)+4(a+c),a+b=jua+b+(+ju)c,则UUl1、UUir，UuDuunUIIluurunUUM所以IEfj=w(A8+4CAA)=W(AB+AC+M+2A8AC-2A8AA-2AC4A=14+4+4+222-222-222-I4(222)4所以同=也故选：D7. （2021.全国高二课时练习）如图，甲站在水库底面上的点。处，乙站在水坝斜面上的点C处
11、，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120。，测得从O,C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为D4=30m,CB=40m,若AB=2Gm,则甲，乙两人相距（）A.70mB.703mC.90mD.903m【答案】A【分析】根据向M的运算得到。C=DA+AB+BC，然后利用平方法即可求出答案.【详解】由于OC=OA+A8+BC，所以IDCf=(DA+AB+BC)2=DA2+A2+BC2+2(DAB+ABBC+DA-BC)3O2+(203)2+402+2(0+0+3040cos60o)=4900,所以IOCI=70,故甲，乙两人相距70m.故选：A.8. （2021安徽屯溪-中高二期中）在边长及对角线都
12、为1的空间四边形ABCo中，E,F分别是SC,AD的中点，则直线AE和C”夹角的余弦值为（）【答案】B【分析】UlOUlU1利用空间向他的线性运算及数量积运算可求得AEC尸=-5,再利用空间向;，求火角运算即可得解.【详解】如图，连接对角线3C,AO,则可构成棱长均为1的正四面体A-BCOlm1zUlUUUDxIlUD1UIUUOx由E,产分别是8C,AO的中点，.AE=q(A8+AC),C尸=(CA+8)UlUum1,IIU11UUll/ULTInJ111UU11ULrUUDULrIIU11UU11UUUlll三.AECF=w(A8+AC)(C4+CO)=w(A8CA+ACCA+A8CO+A
13、CCO)1(1minmm、1zUIIniiim11umUin=-+ABCD=-2ABCD=+-ABCD4122)4V/24umumum/UinUUD、uuUIUDuuuunUunUIlIABCD=AB(AD-AC=ABAD-ABAC=0,/.AECF=一一V222UUn UuO AE,CF) =IUlUUlB.AECFiMtti-=I4IcfI2所以百线AE和C尸夹角的余弦值为:.故选：B二、多选题9.（2021河北高二阶段练习）如图，在三棱柱ABC-AlBlCi中，M,N分别是43,8G上的点，且5M=24M,GN=2囱M设AB=,AC=bAAi=cf若ZBAC=90。，ZBAA1=ZCAA
14、1=60o,AB=AC=AA1=I,则下列D.直线4小和直线8G所成角的余弦值为A.MN=-a-b+-c333C.直线A8和直线8G相互垂直【答案】ABD【分析】,利用数策积可判断BCD的正误.利用向量的线性运算可判断A的U【详解】12A：MN=MAy+A,Cy+C,N=-BAy+AC+-CB=-A+1+AC+(AB-AC)=-AB+-AAi+-AC,33*35AB=a,AC=b,A=c,.，MN=g+gb+gc.B：VAB=AC=AAi=r|=bHc=1.VZBAC=90o,：.ab=O.：ZBAAi=ZCAAx=60,：.ac=bc=；,.*.IMNf=(a+b+c)2=a2+b+c+2a
15、b+2ac+2bcj=,/.MN=*.对于C、D：AB1=c+c,BCx=c+h-a,cos=的F4=(y+0用忸弓|y(a+c)2y(c+b-a)2-1+1+-1_22231+11+1-16所以D正确，C错误，故选：ABD.10. (2021浙江台州高二期中)下列关于空间向量的命题中，正确的有()A.若向量与空间任意向量都不能构成基底，则B.若非零向量d,b,W满足d_Lb，blc则有LcC.若OA,OB，OC是空间的一组基底，且。O=gA+gB+gC,则A,B,C,。四点共面D.若向量4,b，W是空间的一组基底，则+b,c-b，也是空间的一组基底【答案】ACD【分析】利用空间向量基底的概念
16、与向量和向量间的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对A,若向量力,/与空间任意向量都不能构成基底P只能这两个向量为共线向量，KwB故A正确；对B,若非零向量。，b，C满足a_Lb，blc，则&与C的关系不确定，故B错误;111对C,若OA，OB，OC是空间的一组基底，SLOD=-OA-OB+-OC,则OO-QA=g（8-。A）+g（C-04）,即AO=gAB+gAC,可得A,B,C,。四点共面，故C正确；对D,若向量c；是空间的组基底，则向量,b，C不共面，所以向量+力，c-bc+也不共面，所以+b,c-bc+也是空间的一组基底，故D止确.故选：ACD.11. （2021广东广州奥林匹克中学高
17、二阶段练习）在四棱柱ABCD-A旦CQ中，底面ABCQ是边长为1的正方形，AA=2,NAAB=NAAD=60。，则下列选项正确的是（）TTTTCTTfTAACi=AB+AD+AA,B.AC=A8+AO-AA1TTT-2.T5J34C.若AM=2MC，则AM=5M+A8+5AOD.若直线AC与3。交于点0,则OG=专【答案】AB【分析】根据空间向量的线性运算、空间向量的数量积和模的运算即可求得答案.【详解】对A,由题意，AC1=AC+CC1=AB+AD+AAi,A正确；对B,AyC=AiA+AC=-AA,+AB+AD=AB+AD-AAy,BiE确；对C,M=2MC=M=-C=AC-AA=AB+A
18、D-AA122则AM=AAl+AM=3M+5AB+3AO,C错误；对D,由题意可知，OC1=OC+CCiAC+AA1AD)+AA1则IOGl=J；A4，+；AQ2+AA，；A8AQ+A4A4+AQA4=J-l+-l+4+l2-+l2-=,D错误.Y44222故选：AB.12（2021浙江杭州高二期中）如图，在平行六面体ABC。-ABCQ中，AB=AD=AAlfNzMB=NOAA=NBAA=60。，点、M,N是棱DG,CM的中点，则下列说法中正确的是（）A. MNLAClC. CAI _L平面GB。【答案】ADB.向量AM，BC，网共面D.OM与平面ABC。所成角的正弦值为名反21【分析】设A3
19、=。，AD=h,A41=e,用基底向我表示MN，A,求其数量积可判断A：若向审A”,BC,B4共面，则存在唯一一对实数,使得AM,所以+c；=劝+c,无解可判断8；以ACBC0,可判断C;平面ABCD的一个法向量为=+b_3c,DM=DDl+DiM=d+cf用向量法可求线面角的正弦值，可判断O【详解】设A8=,AD=b,AAi=CAB=AD=AA1=t则Ial=|I=ICl=1,ab=tbd=；,dc=t111I1A:MN=-DB=-a-b,AC1=d+b+c所以MNAC=(54/-58).(4+6+0)=(),故A正确；对于B:AM=AO+OR+AM=gd+力+H阐DM卜故选：AD三、填空题
20、13. (2021浙江杭州高二期中)在三棱锥ABCQ中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M是AZ)的中点，点N是线段BC的一个三等分点(靠近3点)，则IMNI=.Q【答案】-#【分析】取BC的中点E，连结ME,MC,M8先求出IMCl的长，然后求出IM目的长，最后求出IMM的长得到答案.【详解】取BC的中点E,连结ME,MC,M8,又点M是AO的中点，IAq=IC。|=3,则MeJ.4),所以ICMI=JE芬二=二T=2jW由IABl=IAc叫=Ia)I=3,I明=IAz)I,则_84。与CAO全等.所以|用回=|明，由点E为BC的中点，则ME_LBe,则IMEI=JCMFTCE
21、=121I1IIJBE=CE,BV=-BC=-,所以INEl=忸目一忸N=.在直角三角形NME中，IMNI=J的+麻二故答案为：I14. （2021全国高二课时练习）在正方体ABa）-AqCa中，P为ABl上任意一点,则。?与BG的位置关系是【答案】垂直【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算以及数量积，即可求解.【详解】由题意，得OPGB=（Z）A+A尸）c=（c用+4尸）G8=G8G8+apGB=O,所以3户_LC活，即DPBC1.故答案为：垂直.1一115.（2021.山东师范大学附中高二期中）正方体ABCD-AMCa的棱长为1,P点满足AP=2AB+AO+AA1,则P至JA8的距离为【
22、答案】立2【分析】根据题设向量的线性关系，结合正方体的性质易知产为底面中心，进而求产到AB的距离即可.【详解】若O,。分别是上下底面中心，如下图示，1IAP=-AB+-AD+AAi=AO+AAy=AO,即O与尸为同点，:P到AB的距离d=MO2+o2_竽=岑.故答案为：此216.（2021全国高二课时练习）如图，四面体ABCQ的每条棱的长都等于2,点产分别为棱AB,A。的中点，则断+吗=,BC-EF=,乔与Ae所成的角为【答案】2390#【分析】利用向量线性运算可知,2+84=卜耳=2；根据E尸=3即，结合向量数量积的运算律可求得BC-E户,由此可得麻一闭；根据ACE/=A可可证得M_LAC,
23、由此可得结果.【详解】AB+BC=ACtAB+C=AC=2.11尸分别为ABMO的中点，。平行且相等，.E/二万8。，XBZ)BC=22cos60=2,I.2.1.2.1.21:BC-EF=BCBD=BC-BCBD+-BD=4-2+-4=3.I1244.C-EF=3；EF=-BD=-IAD-ABt22、,.4CEF=；AC(AZ)-A8)=g(4C.AO-ACA8)=0,:.EFLAC,.,E户与Aei所成的角为90故答案为：2:/3：90四、解答题17.(2021全国高二课时练习)如图，在平行四边形ABCQ中，AB=2AC=2且NAa)=90。，将-ABC沿AC折起，使A8与CD所成的角为6
24、0。.(1)求A88;(2)求点B,。间的距离.【答案】2或2(2)M或小【分析】(1)由空间向量数量枳的定义即可求解；(2)由,邛=(84+40+0叶即可求解.(1)解：由已知得，翻折后AB与8所成的角为60。，所以=60。或120。,所以A8C0=网|。际60。=2,或48CZ)=网ccosl20o=-2.解：连接3。，由已知得ACCD=O,84AC=O,则BD2=(A+AC+CD=BA2+AC2+CD+2BAAC+2ACCD+2BACD=22+2+22+O+O+222COSVBA。,所以,二13或5,解得Ba=Jm或逐，即点8,O间的距离为疝或618.(2021江苏滨湖.高二期中)1.如
25、图，”是四面体04BC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点尸在线12段AN上，且MN=ON,AP=-AN,23(1)若ZAO8=60。，ZAOC=ZfiOC=120o,OA=OB=OC=,ACOB;(2)试用向量04，OB，OC表示OP.【答案】(1)-122(2)OP=-OA+-OB-OC399【分析】(1)利用AC=OC-。4及空间向量的数量积运算法则进行计算；(2)结合题T中的数量关系，把。户用向量。4，OB，Oe的线性关系表达出来.(1)由题意得：AC=OC-OA因为NAO8=60。，ZBOC=20o,OA=OB=OC=Xi所以AC.08=(OC-OA).06=OCoB-QAOB=OC
26、HOqCoSZBOC-OA画CoSAAOB=Ilcosl200-llcos600=-=-122(2)因为M是四面体。ABC的棱BC的中点，所以。M=(03+0C),因为MN=ON,所以。N=jQM,又2因为=所以OP=OA+AP=OA-AN=OA+-(N-OA=-OA+-ON33、/33122-141.41/=-OA+-OM=-OA+-OM=-O+-(B+OC33339392、f122=-OA+-OB+-OC39919.(2021全国高二课时练习)如图，已知。，A,B,C,D,E,F,G,为空间的9个点，且OE=,OF=kOB,OH=kOD，AC=AD+mABEG=EH+mEF，A0,20.(
27、1)求证：A,B,C,。四点共面，EtF,G,，四点共面；(2)求证：平面ABCQ/平面瓦C”；(3)求证：OG=kC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)利用空间向量共面定理即可求证；(2)由空间向量线性运算可得EG=RAC,由空间向M共或定理可证明AC/EG，再由线面平行的判定定理可得瓦M平面ABCO,同理可证明尸H平面ABCD,由面面平行的判定定理即可求证；(3)由(2)知EG=AAC，再利用空间向量的线性运算即可求证.因为AC=AO+“zA8,加工0,所以AC，AZ），AB共面，即A,B,C,。四点共面.因为EG=EH+mEF,m0,所以EG，E
28、H,共面，即E,FtG四点共面.(2)连接/,BD,EG=EH+mEF=OH-OEmF-OE=k(D-OA)+hn(B-OA)=kAD+IanAB=k(AD+mAB=kAC,所以4CV/EG，又因为EGo平面ABC0,ACU平面A8CO,所以EG平面ABCO.因为FH=OH-OF=kD-OB)=kBD,所以FHBD,又FW(Z平面ABCZ),8。U平面ABCD,所以/平面ABa),因为EG与/相交，所以平面ABa)平面EPGH.(3)由(2)知EG=AAC，所以OG=O石+EG=H4+AAC=k(A+AC)=kOC20.（2021.全国高二课时练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A5CO为
29、直角梯豚ADHBC,NBAz）=90,A4_L底面A8CO,且=AO=A8=28C,M为尸C的中点.0),根据空间向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律求AC、P)的模及POAC,进而可求AC与尸。所成角的余弦值.(1)由题图，知：PB=AB-AP,DM=dP+DC)=AP-AD-AB-AD=1aP1AB-AD,P8OM=(A8-AP)(；AP+gABqAO)=g网;4时=0,即皿OM(2)PA=AD=AB=2BC=2(0),又PD=AD-AP,AC=A3+：AO,I叫2=AD-AP2=AD2-2DAP+AP2=Sa2,故IM=22,=AB + ； Aq = IAB2 + 2AB AD+AZ
30、)2 = 5a2,故IAq=可,PD AC = (ad-p)(ab+d.COSgAC) =心T 卑,则AC SiPO所成角的余弦值为雪21.(2021浙江萧山中学高二期中)如图，平行六面体ABCD-A必CQ中，CBlBD,ZC1CD=45,ZC1Cfi=60,CC1=CB=BD=t(1)求对角线CA的长度；(2)求二面角C-80-G的余弦值.【答案】(1)CA=3在3【分析】(1)根据题意可得CO=,NCBO=45,利用向量数量积的定义求出C5C。、CBCCpCD-CC1Wlfi,利用基底的概念可得CA=C8+CO+CG，等式两边同时平方，计算即可；根据余弦定理可得Go=I,进而证得，GDB为
31、等边三角形，取BD中点0,连接G。，如图，可得GO_LBD,设二面角C-80-G为0,利用向量数量积的定义求出CE80、bOcc1CAOCl的值，利用基底的概念可得Ce=COq，等式两边同时平方，计算即可.(1)由题意知，在RtACBD中,CD=近,NCBD=45，以向量CB，CD，CG为基底，CAi=CB+CD+CQCCD=CCZcos/BCD=1,同理可得C8cg=g,coCG=1,式平方，得CA1?=(CB+CD+CC=CB2+CD+CCi2+2CBCD+2CBCCi+2CDCCi，CBCD=CBCDcos/BCD=1,同理可得CBCC1=CC1=1,所以CA=3.(2)在.GCO中，C
32、1D2=CC12+CD2-2CCiCDcos45=1,C1D=I,又GC=CB=LNGCB=60,所以ACQB为等边三角形,所以GB=8D=GD=I,故COB为等边三角形，取BO中点。，连接CQ,则CQLBD,又CBLBD,CC1=CB+BO+OC1,设二面角C8OG为0,则OTBO=O,B0CG=O,C30C=C用OGkOS式两边同时平方，得CC12=CB2+BO2+OCi2+2CBBO+2BOOCi+2CBOCi=2-3cos6,所以2-Jcos6=1，COSe=与.所以二面角C-BO-G的余弦值为立.322.(2021全国高二课时练习)如图，已知正方体CO-ABCa的棱长为1,P,Q,R
33、分别在A3,CC1,APCQDxRa/八八AA上，并满足6=而=R=；(l).设A8=i,AD=j,A41=k.d(ClKA一1(1)用i，j，k表示PQ，PRi(2)设QR的重心为G,用乙j,k表示DG；(3)当RG_LOG时，求。的取值范围.【答案】(1)PQ=(-a)i+j+ak,PR=-ai+k+(-a)j(2)扣+l)i+*+l*-*+l)/(3)0tzl【分析】(1)利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；(2)利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；(3)先用i,人表示RG，再计算RGOG,发现其恒为零，进而可得。的取值范围.(1)PQ=PB+BC+CQ=(-a)AB+AD+
34、aCCx=(l-)z+j+akPR=PA+AAx+R=-aAB+AAx+(-a)AyDx=-ai+k+(-aj(2)DG=DC+CQ+QG=AB+aCCi+：仅尸+；Pq=i+2+(-l)i-j一心+#-H+k+(l-)/)=g(+l)i+g(+l)L*+l)j(3)RGVDG:.RGDG=U又RG=RD+DG=RD+DD+DG=aAD-DD+DG=6f-(+l)(l)-+l)=(+l)(-2)+(2-l)jJJ7JJ. RG DG =(+l)/+1(a-2)+1(2a-l)71(a+l)/+1(+l)Z:-1(a+l)7=3+l)W2)(+l)J(2T)(+l)=a2+2a+a2-a-2-2a2-4+l)=O即对任意0“YfRG1DG即”的取值范围为0vL
