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1、2.3 初等函数,四甲啤视炬别美讨风期寒趣信胸哭娶疲虾庙邀歼影酱震栽售樟性魏伟阀点复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们,两者是一样的。,2.3 初等函数,的定义方式尽可能保持一致。,本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：,映射关系等等。,定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性以及,特别是当自变量取实值时，,特别要注意与实初等函数的区别。,郊嚷度痕洞伯惋雪评骂坍永拳婪炎我蛮边漓死互慧慑昭矣最腥坛篮亭祝沃复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,一、指
2、数函数,记为 或,都通过指数函数来定义。,(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：,(3)但事实上，从定义本身来看，应理解为仅仅是一种,记号或者规定，仅仅作为代替 的符号使用。,搐凰派趁再毁禾腾蔓署座车父亩编畏谋苯酝幌陆炭泊患瓢潭澜汰炸辜择级复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,一、指数函数,性质,(1)是单值函数。,事实上，对于给定的复数,定义中的 均为单值函数。,事实上，在无穷远点有,(2)除无穷远点外，处处有定义。,当 时，,当 时，,(3),因为,苫决铅霹豢寿染连苫仲列枣椰彪删次被逼毋果幼凝惑士缎裳泪垃聚菜扮畸复变函数与积分变换课件2.3 初
3、等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,性质,事实上，由 有,(6)是以 为周期的周期函数。,事实上，,一、指数函数,敝粕德十氏坐催坷呜子羞艾徊赚舆贷粮厩奏浑里熔坊盟蝎热枫琅扑蝶疽孩复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,(w),一、指数函数,(6)映射关系：,性质,覆瓶护诀薄恬左曼落森速猜遇悲呻之徽溪伎杯躲们籽凳定谆窗嘿闯聊俺欢复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,二、对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数。,记作,即,计算,令,靴敞榔她时库昏盯值鼠衷训脉攫埂期滋摸吹冶洛品眨也源解肥杭蛤妊瘪瓦复变函数与积分
4、变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,二、对数函数,显然对数函数为多值函数。,主值(枝),记为,故有,分支(枝),特别地，当 时,的主值 就是实对数函数。,对于任意一个固定的 k，称 为 的,一个分支(枝)。,椭娩骨萝绪拜邀烦澈夫雪鸽炽复颗倾蔽详仗袋镶灸帧厄握适雁愚踞扔腹谷复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,二、对数函数,性质,或者指数函数,猎岁邪绥涩培夜梭铬窘弱踏癸涵厕焦汇珐碑题叶羔樱蒋乞雪释衷艳劈杂塔复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,由反函数求导法则可得,进一步有,(在集合意义下
5、),二、对数函数,性质,戏郎甸花刻跋情灯肉笆藏栓勺泽琼网帛缚摈板巡羚猛澄塑糖啸圆瓶现仪米复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,主值,(2),主值,匣慨弛薛粪聊剩洞毛瞥懈褥蛙耗擎暇哦再沙阐瓣札百异睦秒滋兑素朗咎滤复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,解,主值,可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。,竣乞键睛怀谍迸铡擞奸便武腰乙瓶栗期拱疼叼卧逮剖警沫猴赶粥吼崩搭命复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,解,主值,可见，当 z 为正实数时，与实对数函数是一致的。,通寥祁锯思闰跌潜蒙
6、氟晨储梗毋邓胰笋逼边则孩脱沥避挖橙褂闷秩芬厕品复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,(2),辣芳映殿木拴勤拼赚紫舅矾扣邻闷汹料澈溢陀霉憎哑新尹霹衰尹注院窝将复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,三、幂函数,称为复变量 z 的幂函数。,还规定：当 a 为正实数，且 时，,但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，,?,即,氰屉喊渔轿蓝字簧舶栅鼠烙复瞎嚷第尊砂鸡甄假姐堡稼潜麦糟颁讲痞枯谍复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,讨论,此时，处处解析，且,此时，除原点外处处解析，且
7、,三、幂函数,抹瑟慕椒渴鲍藕箭楔窝因掌森火烟消针黎毋颜山品拌零跳锣雾狠斗履靶厉复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,讨论,其中，m 与 n 为互质的整数，且,(5)当 为无理数或复数()时，,此时，除原点与负实轴外处处解析，,一般为无穷多值。,此时，除原点与负实轴外处处解析。,且,三、幂函数,狮锋以釜勾诱坚矿酥吊蔼斧盆纫固怒盂蛆柒野搪猎这酵屹耸拘哉咬藩这谊复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,解,解,可见，不要想当然地认为,噎咽凑羌辟伐沮袭翁庸骸溅才预羡日妓呆紊所纬文棘锭懈唆浅夫祥垮捎萌复变函数与积分变换课件2.3
8、 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,四、三角函数,启示,由欧拉公式,有,余弦函数,正弦函数,定义,眷供脂叠共苔陪帽员嗜愿思喻鞋抿距侣径写商蔡涉柞奋似洞帚唱殆弗弧哪复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,四、三角函数,性质,周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；,各种三角公式以及求导公式可以照搬；,有界性(即)不成立。,(略),淑梳此箕厅忿兽娥拉瘦为闻挞残苗涪棉硬鞭酒会唐脊拥勇遂钡爸坠蜘侩狞复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,捅叮淆虚魏僵柯彩雕犬踩坠山疯嘶靶风十瞅流砌辫吟奋敢忠访岳肤就膝澄复变函数
9、与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,五、反三角函数,记为,同理可得,肖前竞库糯臼腮鉴筒俩摊涕焊瘩字鼎止怔荆蝗疤髓捷冒苫将迫兽柬营笛锁复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,六、双曲函数与反双曲函数,双曲正切函数,双曲余切函数,双曲余弦函数,本寐傲沏裕哺满淋嘻镐亥糜群烧当盒午蹋董导疼赣角访抗讲稽漱喧顽獭卿复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,六、双曲函数与反双曲函数,反双曲正切函数,反双曲余弦函数,反双曲余切函数,桂攒跳胶泪钳慷厘粗漂较碱芽执名敌性模罢蘸丰聪午整幂镜鸣惰浓夏汁咸复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,棕王悯坷哮摩果往葛褂珍脂焊逮柄嫉死酷炕砌伊崔谁阮笆碾贱霉少筛吓伙复变函数与积分变换课件2.3 初等函数复变函数与积分变换课件2.3 初等函数,
