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1、第二章 一元函数微分学,一 导数二 微分三 微分中值定理四 洛必达法则五 导数的应用,第一节 导数,定义,（一）导数的概念与性质,其它形式,即,关于导数的说明：,明显:,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,几何意义,切线方程为：,法线方程为：,可导与连续的关系,定理：可导连续（逆否命题）不连续不可导（逆命题）连续可导？不一定 例：y=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。,(二)导数的运算,基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则,设u=u(x),v=v(x)都可导，则,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数求导法则,设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y,只需直接由方程
2、F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复合函数链式法则求之。,由参数方程确定的函数求导法则,对数求导法,练习,p28例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36,第二节 微分,先看个例子：,微分的运算法则,复合函数的微分,这个性质称为一阶微分形式不变性。,练习p36 例37 例40 例44,第三节 微分中值定理,若函数f（x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。,若在区间(a,b)内，恒有f(x)=g(x)，则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+C,其中C为某个常数。,推论,p39 例47 例48,练习,第四节 洛必达法则,可转化为洛必达的形式
3、,例,例,例,解,例,例,练习,p43 例51 例57,第五节 导数的应用,（一）求曲线的切线方程与法线方程（二）函数的单调性与极值（三）函数的最值（四）曲线的凸凹性,（一）求曲线的切线方程与法线方程,当,0时，法线方程为,-1/,（二）函数的单调性与极值,1 函数单调性,定理,2 函数的极值,定理（极值的必要条件）设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f(x0)=0.,（三）函数的最大值与最小值,设函数y=f(x)在闭区间a,b上有定义，x0a,b,若对于任意xa,b,恒有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值（或最小
4、值），称点x0为f(x)在a,b上的最大值点（或最小值点）。,注 极值与最值的区别 极值是一个局部概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小。而最值是对整个定义域而言，是一个整体性的概念。,函数最值求法步骤：,(1)求出)(xf的所有极值点(驻点和导数不存在 的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值。,（四）曲线的凸凹性,凹,凸,定理1,曲线的拐点,渐近线,定义 当曲线上一点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时，如果M到一条直线L的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。若直线L与x轴平行，则称L为曲线y=f(x)的水平渐近线。若直线L与x轴垂直，则称L为曲线y=f(x)的铅直渐近线。,练习p48 例59 例60 例65 例70 例72 例75 例77,
