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1、连续信号的时域分析,正弦信号的描述,两周期不同的正弦信号叠加后，合成的信号可能是周期的也可能不是周期的。,如果存在整数 和，使得 则合成的信号是周期信号，周期为两周期的最小公倍数,连续信号的时域分析,冲激信号的描述,性质一：筛选,性质二：尺度变换,性质三：卷积,连续信号的时域分析,冲激偶,性质一：奇函数,性质二：筛选,连续信号的时域分析,时间尺度变换,表现为信号横坐标尺寸的展宽或压缩，通常横坐标的展缩可以用变量 at（a为大于零的常数）替代原信号的自变量 t 来实现。,连续信号的时域分析,翻转,将信号以纵坐标轴为中心进行对称映射，即用变量-t代替原自变量 t 而得到的信号 x(-t)。,连续信
2、号的时域分析,平移,将原信号沿时间轴平移，信号的幅值不发生改变。若t0为大于零的常数，则沿坐标轴正方向平移（右移）t0表示信号的延时沿坐标轴反方向平移（左移）t0表示信号的超前,连续信号的时域分析,卷积,将 和 进行变量替换，成为 和；并对 进行翻转运算，成为 将 平移t，得到。将 和 相乘，得到被积函数。将被积函数进行积分，即为所求的卷积积分，它是t的函数。,连续信号的时域分析,例 1,求两信号的卷积。,连续信号的时域分析,例 1,连续信号的时域分析,例 2,计算积分,利用冲激函数的尺度变换性质和筛选性质,连续信号的频域分析,周期信号的傅里叶级数,连续信号的频域分析,采样函数,一：偶函数,二
3、：过零点为,连续信号的频域分析,非周期信号的傅里叶变换,连续信号的频域分析,常用非周期信号的傅里叶变换对,连续信号的频域分析,非周期信号的傅里叶变换的性质,一：时移,二：频移,三：对偶,连续信号的频域分析,非周期信号的傅里叶变换的性质,四：微分,五：积分,六：卷积,连续信号的频域分析,例 3,已知,求,的傅里叶变换。,由对偶性,连续信号的频域分析,例 4,t,X(t),1,A,求的傅里叶变换。,由微分性质,连续信号的频域分析,例 5,t,X(t),1,A,将以1为周期进行延拓得到周期信号，求其傅里叶变换。,记,则,代入,例 5,t,X(t),1,A,根据一般周期信号的傅里叶变换的定义：,连续信
4、号的频域分析,例 6,连续信号的频域分析,t,x(t),2,-2,1,-1,1,求,的傅里叶变换,连续信号的复频域分析,拉普拉斯变换,连续信号的复频域分析,拉普拉斯变换收敛域,右边信号：,左边信号：,收敛域由拉普拉斯变换的极点界定或延伸至无穷。,左边信号,和右边信号,具有相同的变换表达式,一个信号的 单边Laplace变换就等于 的双边Laplace变换。,连续信号的复频域分析,Laplace变换和傅里叶变换的联系,一：收敛域包含 轴,二：收敛域不包含 轴,傅里叶变换不存在,连续信号的复频域分析,Laplace变换和傅里叶变换的联系,三：收敛域边界落在 轴上,是拉普拉斯部分分式展开式，轴上极点
5、项的系数。,连续信号的复频域分析,拉普拉斯变换的性质,线性,微分,积分,时移,频移,连续信号的复频域分析,常用Laplace变换对,例 7,连续信号的复频域分析,求的单边拉普拉斯变换。,例 8,连续信号的复频域分析,求拉普拉斯逆变换,左边信号,右边信号,信号的采样与恢复,连续信号x(t)经过一个被称为采样开关的装置，该开关周期性地开闭，其中开闭周期为Ts，每次闭合时间为，Ts，这样，在采样开关的输出端得到的是一串时间上离散的脉冲信号xs(t)。为简化讨论，考虑Ts是一个定值的情况，即均匀采样，称Ts为采样周期。,连续系统的离散化,信号的采样与恢复,按理想化的情况，由于Ts，可认为0，即 xs(
6、t)由一系列冲激函数构成。每个冲激函数的强度等于连续信号在该时刻的抽样值 x(nTs)。,信号的采样与恢复,一个连续信号经理想采样后频谱发生了两个变化：,1、频谱发生了周期延拓；2、频谱的幅度乘上了一个 因子，其中 为采样周期。,时域采样定理,采样定理：对于频谱受限的信号,如果其最高频率分量为,为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频率应满足。通常把最低允许的采样频率 称为奈奎斯特频率。,对于不是带限的信号，或者频谱在高频段衰减较慢的信号，可以根据实际的情况采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，用一截止频率为 的低通滤波器对信号 进行抗混叠滤波，将不需
7、要的或不重要的高频成分去除，然后再进行采样和数据处理。,信号的采样与恢复,信号的采样与恢复,时的频谱混叠：,信号的采样与恢复,由抽样信号恢复原连续信号,其中,其中,求得：,正弦型序列,式中，A是幅度，T为抽样周期，=T表示离散域的角频率，称为数字角频率，单位为弧度（rad），0为正弦序列的初始相角。,注意：连续时间正弦信号一定是周期信号，其周期为,经采样离散化后的正弦序列就不一定是周期性序列，只有满足某些条件时，它才是周期性序列。,，k为整数,若,此时正弦序列是周期序列，其周期为,离散信号的时域分析,离散序列卷积和,定义：,一般运算方法：,（1）坐标变化：将n更换为m；（2）翻转：将h(m)以
8、m=0为轴翻转为h(-m)；（3）平移：取定n值，将h(m)向右平移n个单位；（4）相乘：对应项相乘再求和。,离散信号的时域分析,求,0.5 1 1.51 1 1 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 0.5 1.5 3 2.5 1.5,h(m)翻转后,当n=1起开始乘积不为0。所以求得的序列的第一项为n=1的值。,即,离散信号的时域分析,例 9,离散信号的时域分析,例 9,离散信号的频域分析,离散周期信号的频谱分析（DFS),离散信号的频域分析,例 10,求 的离散傅里叶级数。,离散信号的频域分析,DFS周期卷积定理,若,则,定义周期卷积：,离散信号的频域分析,例 11
9、,求周期卷积,直接由定义求：,离散信号的频域分析,离散非周期信号的频谱分析（DTFT),离散信号的频域分析,DTFT变换的性质,离散信号的频域分析,例 12,求DTFT。,离散信号的频域分析,例 13,m 0 m,X(),1,求IDTFT。,离散信号的频域分析,例 13,例14 求序列 的DTFT。,离散信号的频域分析,离散信号的频域分析,例 15,设 满足零初始条件，且,解差分方程,方程两边同取DTFT：,离散信号的频域分析,离散傅里叶变换DFT,离散信号的频域分析,例 16,求序列 的4点DFT。,离散信号的频域分析,例 17,求序列的N点DFT。,离散信号的频域分析,例 17,观察分子可
10、以发现：,时，的值均为0,将 用欧拉公式展开：,令,离散信号的频域分析,例 17,以上各式对照，可以验证结论的正确性,56,圆周位移的概念,有限长序列周期延拓线性位移加窗得到圆周位移序列,离散信号的频域分析,离散信号的频域分析,DFT圆周卷积定理,离散信号的频域分析,DFT计算化简的思路,FFT序列分解,离散信号的频域分析,FFT运算的基本单元,序列的排列方式可以用二进制码倒置的办法确定：,离散信号的频域分析,离散信号的频域分析,FFT运算的注意事项,信号离散时，采样频率要满足奈奎斯特频率对于基2FFT算法，N一定是2的整数次幂，若不是，要补若干个零，凑成2的整数次幂。数据长度要取得足够长,离
11、散信号的复频域分析,从DTFT到ZT,增长型的离散信号(序列)x(n)的傅里叶变换是不收敛的，为了满足傅里叶变换的收敛条件，类似拉普拉斯变换，将x(n)乘以一衰减的实指数信号r n(r1)，使信号x(n)r n满足收敛条件。,DTFT,离散信号的复频域分析,Z变换定义,Z变换的收敛域总是圆的内部或外部，由极点界定。左边序列的收敛域是圆内右边序列的收敛域是圆外,左边序列 和右边序列 有相同的Z变换，但收敛域不同。,离散信号的复频域分析,Z变换的基本性质,单边Z变换,信号 的单边Z变换就等于 的双边Z变换,离散信号的复频域分析,常用Z变换对,离散信号的复频域分析,Z逆变换部分分式法,将 展开成部分
12、分式，化为：,将 以 为变量展开成部分分式，化为：,离散信号的复频域分析,例 18,求,的反变换。,以,为变量，部部分分式展开,离散信号的复频域分析,例 19,求,线性时不变系统的时域分析,LIT系统的微分方程,连续,离散,线性时不变系统的时域分析,卷积的数学性质,交换、结合、分配律,微（差）分,积分,对于 t=0时刻加入激励信号 x(t)的 LTI因果系统的输出响应为：,离散：,积分区间由无穷变为,线性时不变系统的时域分析,线性时不变系统的频域分析,提供了求解系统冲激响应的一种方法,频率特性函数 在频域完全充分地描述了LTI系统的特性和功能：,从幅值和相位两个方面改变了 的频谱结构,这种改变
13、使输入信号的某些频率分量得到增强，某些频率分量被削弱或保持不变，具有滤波的特性。,线性时不变系统的频域分析,注意：只能求得零状态响应,线性时不变系统的频域分析,例 20,设原信号为x(t)，其频谱为X()，经无失真传输后，输出信号y(t)应为,无失真传输系统的频率特性函数为,其幅频特性和相频特性分别为,仅有幅值变化和因果时移,线性时不变系统的频域分析,线性时不变系统的复域分析,传递函数,定义在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比为系统的传递函数，记为 H(s),若传递函数的全部极点位于左半平面，则系统是稳定的。,已知系统的传递函数为：当输入 初始状态，,试求
14、全响应y(t)。,写出微分方程：,两边做Laplace变换,输入是没有初值的,例 20,线性时不变系统的复域分析,代入,例 20,线性时不变系统的复域分析,例 20,线性时不变系统的复域分析,系统框图,系统可以用框图来表示。在零初始状态下，系统在时域、频域与复频域的特性可以分别用冲激响应h(t)，频率响应函数或频率特性函数H()和传递函数H(s)来表征，如下图所示，图中表示了相应的输入与输出关系。有时，又将H()和H(s)称为系统函数。,线性时不变系统的系统框图,2023/5/24,81,1）系统的级联（串联）,与级联次序无关,线性时不变系统的系统框图,2）系统的并联,和点,线性时不变系统的系
15、统框图,3）反馈回路,：正反馈：负反馈,分点,反馈通道,推导方法：,线性时不变系统的系统框图,有一因果时不变系统，其框图如题图所示，试确定描述该系统输入x(t)对输出y(t)的微分方程。,H1(s),H2(s),例 21,线性时不变系统的复域分析,例 21,线性时不变系统的复域分析,离散时间系统的Z域分析,在分析连续时间系统时，可以把描写此系统工作情况的微分方程通过单边Laplace变换转变成代数方程求解。由微分方程的Laplace变换式，还可以引出复频域中的传递函数的概念，从系统的传递函数，就能比较方便地求得。对于离散的时间系统，情况也类似。,线性时不变系统的复域分析,若传递函数的全部极点位
16、于单位圆内，则系统是稳定的。,2023/5/24,87,一个离散的LTI系统，时域表达式P163式(4-7)时移定理两边取单边Z变换x(n)是n=0时接入的因果信号,注意和Laplace变换的区别：初值项前是+号，而Laplace中是-号,线性时不变系统的复域分析,2023/5/24,88,已知由差分方程所描述的初始条件为y(-2)=1,y(-1)=1，系统的输入激励为，求系统的响应y(n)。解：对差分方程两边同时进行单边Z变换，有,把含初始值的项合并到一起可以单独求零输入响应,线性时不变系统的复域分析,例 22,2023/5/24,89,线性时不变系统的复域分析,一离散时间因果系统的差分方程为：y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)求其冲激响应。解：查表得,线性时不变系统的复域分析,例 23,2023/5/24,91,补充作业：26(1)求如下系统的传递函数H(z)；(2)求如下系统的单位脉冲响应h(n)和单位阶跃响应g(n);(3)写出如下系统的差分方程；(4)判别如下系统的稳定性。,2023/5/24,92,2023/5/24,93,
