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1、1,4 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理,2,4.1 信号分解为正交函数,在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表示。这组矢量称为正交矢量集。一.正交函数集 正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则,正交函数集：n个函数1(t)，n(t)在区间(t1，t2)内构成的正交函数集i(t)满足,3,Ki为常数，如果Ki1，则称该函数集为归一化正交函数集。完备正交函数集：在正交函数集
2、之外，不存在函数与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。正交复函数的定义：,正交函数集例：（在区间t0，t0+T，且T=2）三角函数集：1，cos(nt)，sin(nt)；n1，2，3，复指数函数集：ejnt；n0，1，2，,4,二.信号分解为正交函数 对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似,选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差,要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得,5,于是可得误差,均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。,6,当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程,帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，
3、则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。,因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和,7,4.2 傅里叶级数,周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为傅里叶级数。一.周期信号的分解 设有周期信号f(t)，可分解为,an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得,8,an是n的偶函数，即 anan；bn是n的奇函数，即 bnbn。f(t)分解式的另一种形式,式中 A0=a0,9,例：将方波信号展开为傅里叶级数。,解：傅里叶系数为,10,傅里叶级数的展开式为,11,图示方波信
4、号分解吉布斯(Gibbs)现象：当n时，在间断点处有9%的偏差。如果方波信号如图所示,则傅里叶级数的展开式为,12,二.奇、偶函数的傅里叶系数,根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为,f(t)为奇函数，则系数为,13,任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)fod(t)fev(t)由于f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以,例f(t)=et(t)，则,14,半波整流波形,15,全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|,16,求半波整流信号f2(t)Esin(0t)(sin0t)的傅立叶级数。,半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：,17,f(t)
5、为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴 f(t)f(tT/2),奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。,18,三.傅里叶级数的指数形式,因为cosx(ejxejx)/2，所以,AnAnnn,19,Fn称为复傅里叶系数，计算式为,20,傅里叶级数小结：,21,4.3 周期信号的频谱,一.周期信号的频谱 周期信号的傅里叶级数,An、Fn、n与n 有关，也即与频率有关。An或|Fn|与之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为幅度频谱。n与之间的关系称为相位频谱。周期信号的频谱只在n处取值，是离散频谱。,22,Sa(x),二.周期矩形脉冲的频谱,定义取
6、样函数为,Sa(x)为偶函数,23,所以,在频谱图上n处，存在谱线，谱线间隔为。,T不变：减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，2/2f0。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/。,24,三.周期信号的功率 周期信号的归一化平均功率,这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形脉冲信号，信号功率为,25,其傅里叶系数为,第一个零点为0.2n=，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为,第一个零点内分量所占总功率的比例为,26,4.4 非周期信号的频谱,一.傅里叶变换
7、由傅里叶级数的指数形式及其系数可得,当T时，d，1/Td/2，n，离散频率变成连续频率，Fn为无穷小。上式成为,27,常用下面符号简记：F(j)F f(t)F f(t)表示对函数f(t)取傅里叶变换，F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数；f(t)F 1F(j)F 1F(j)表示对函数F(j)取逆变换，f(t)称为F(j)的原函数。对应关系简记为：f(t)F(j)频谱函数是的复函数 F(j)|F(j)|ej()R()jX()其中|F(j)|为幅度频谱，()为相位频谱。,28,比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。傅里叶变换的三角函数形式,物理意义：非周期信号含有所有连续
8、频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。,|F(j)|是偶函数该项积分为0,29,一些特殊函数的傅里叶变换(1)门函数的频谱函数门函数 g(t)(t/2)(t/2),频谱图,傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积,30,(2)单边指数函数的频谱函数单边指数函数f(t)et(t)0,幅度谱和相位谱分别为,31,(3)双边指数函数的频谱函数双边指数函数f1(t)e|t|0,(4)另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数(0),32,二.奇异函数的傅里叶变换,(1)冲激函数的频谱
9、,频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函数推得,(t)1,33,(2)冲激函数导数的频谱,即(t)j 幅度谱|F(j)|，相位谱()/2。根据广义函数导数的定义可得 F(n)(t)(j)n。(3)单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数f1(t)当0时的极限,直流分量为有限值，频谱密度为无穷。,34,频谱函数是冲激函数，其强度为,所以,(4)符号函数的频谱 符号函数定义为,35,sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，其频谱函数为,通常表示为 sgn(t)2/j(5)阶跃函数的频谱,36,常用函数的傅里叶变换：,37,4.5 傅里叶变换的性质,(
10、1)线性 若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,n)则对任意常数ai(i=1,2,n)，有,傅里叶变换对,傅立叶变换后线性性质不变。,38,(2)奇偶性,分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。,频谱函数的实部和虚部分别为,频谱函数的模和相角分别为,39,f(t)是时间t的实函数：R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()若f(t)是偶函数，则X()0，F(j)R()；若f(t)是奇函数，则R()0，F(j)jX()。f(t)的傅里叶变换为,F(j)R()jX()R()jX()F*(j)即 F f(t)F(j)F*(j),40,f(t)是时间t的虚函数，即f(
11、t)=jg(t)，则有 R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()F f(t)F(j)=F*(j)类似可得f(t)为复函数的性质。无论f(t)为实函数或复函数，都有F f(t)=F(j)F f*(t)=F*(j)F f*(t)=F*(j),41,(3)对称性,若f(t)F(j)则 F(jt)2f()傅里叶逆变换式,将式中的自变量t换为t得,将上式中的t换为，换为t，即得,42,例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。门函数傅氏变换 g(t)Sa(/2)根据对称性 Sa(t/2)2g()令2，则得 Sa(t)g2()例：求函数f(t)=t的频谱函数。(t)j
12、jt 2()=2()t j2(),43,(4)尺度变换,若 f(t)F(j)则,如a1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。证明：,令x=at，则当a0时,44,令x=tt0,(5)时移特性,当a0时,若 f(t)F(j)则 f(t t0)e jt0F(j)，(t0为常数)证明：,同理可得f(t+t0)的变换。,45,例：求图示五脉冲信号的频谱。,解：单脉冲信号的变换为 g(t)Sa(/2)因为 f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T)所以 F(j)Sa(/2)(1+ejT+ejT+ej2T+ej2T)Sa(/2)1+2cos(T)
13、+2cos(2T)当T4时波形见图4.5-4。,脉冲数n？,46,综合尺度变换和时移特性有若 f(t)F(j)则,由尺度变换可得反转特性:F f(t)F(j)例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。,47,解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为g2(t)2Sa()函数f2(t)可表示为 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里叶变换,又f3(t)=f2(2t)，所以,48,f3(t)也可直接由综合变换式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1)g2(t)2Sa(),49,(6)频移特性,若f(t)F(j)，且0为常数则,应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信号c
14、os0t或sin0t得到。因为,同理可得,50,例：矩形调幅信号,51,(7)卷积定理,时域卷积定理 若 f1(t)F1(j)f2(t)F2(j)则f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)证明：,52,频域卷积定理 若f1(t)F1(j)f2(t)F2(j)则,证明：,53,例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。解：根据函数t和(t)的频谱，应用频域卷积定理,由此可得：F|t|=F t(t)+(t)(t),54,(8)时域微分和积分,时域微分定理 若 f(t)F(j)则 f(n)(t)(j)nF(j)根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有 F f(t)=F f(t)*(t),=F f(t)
15、F(t)=jF(j),重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：,时域积分定理 若 f(t)F(j)则 f(1)(t)F(0)()+(j)1F(j),55,根据时域卷积定理，可得 F f(1)(t)=F f(1)(t)*(t)=F f(t)*(1)(t)=F f(t)F(t)=F(j)()+1/j=F(0)()+F(j)/j F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：,56,例：求三角形脉冲的频谱函数。,对其求二次导数得冲激函数,57,f(t)的频谱函数为,因为F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以f(t)的频谱函数为,则三角形脉冲可表示为,58,则频谱函数应为,在时域积分定理中认为
16、,实际上,例：(t)与sgn(t)/2的导数都是(t)，但时值不同,59,(9)频域微分和积分,频域微分若f(t)F(j)则(jt)nf(t)F(n)(j)或 tnf(t)jnF(n)(j)证：F 1F(j)=F 1F(j)*()=2F 1F(j)F 1(),即(jt)1f(t)F(1)(j)类推可得n次微分。时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。,60,频域积分若f(t)F(j)则,式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求,证明：F 1F(1)(j)=F 1F(j)*(1)()=2F 1F(j)F 1()=2f(t)F 1(),61,时域函数有t1因子时，且f(0)=0，可考虑用
17、如下频域积分性质,因为,根据对称性,取反转,62,例：求r(t)=t(t)的频谱函数。,例：求Sa(t)=sint/t的频谱函数。,应用频域微分,应用频域积分,63,若 f1(t)F1()，f2(t)F2()则有相关定理 F R12()=F1(j)F2*(j)F R21()=F1*(j)F2(j)这是因为 F R12()=F f1()*f2()=F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j)相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。对于自相关函数则有 F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2,(10)相关定理,64,傅里叶变换性质小结,线性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)
18、+a2F2(j)奇偶性 f(t)为实函数：R()、|F(j)|偶函数；X()、()奇函数。F f(t)=F(j)=F*(j)对称性 F(jt)2f(),时移特性,尺度变换,65,时域卷积定理 f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),频域卷积定理,时域微分f(n)(t)(j)nF(j),时域积分,频域微分(jt)nf(t)F(n)(j),频域积分,频移特性,66,若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。能量谱 若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系,4.6 能量谱和功率谱,67,即,上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为,物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷
19、小量|F(j)|2df。定义能量密度谱 E()=|F(j)|2信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数 E()=F R()=|F(j)|2E()反映了信号的能量在频域中的分布。,68,功率谱 定义函数 fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2)FT(j)=F fT(t)如果f(t)是实函数，则信号平均功率为,当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为,功率谱P()反映信号功率在频域中分布。,69,若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为,若f(t)是功率信号，定义自相关函数为,其傅立叶变换为,70,即,R()P()此即维纳-欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。例：求信
20、号f(t)=Sa(t)的能量。解：已知变换对,根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为,71,4.7 周期信号的傅里叶变换,一.正、余弦函数的傅里叶变换,二.一般周期函数的傅里叶变换 周期函数展开成傅里叶级数,式中=2/T。,72,周期函数的傅里叶变换,上式表明周期函数的F(j)和Fn之间关系。傅里叶变换得到的是频谱密度F(j)，傅里叶级数得到的是傅里叶系数Fn。周期性单位冲激函数系列称为梳状函数,73,所以T(t)的傅里叶变换为,梳状函数的傅里叶系数为,74,周期信号fT(t)在一个周期内(T/2T/2)函数令为f0(t)，则 fT(t)=f0(t)*T(t)(见P71)其傅里叶变
21、换为,比较,可得,傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。主周期信号f0(t)包含了周期信号fT(t)的全部信息。,75,则其傅里叶变换为,例：周期矩形脉冲信号,其傅里叶系数为,76,77,例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。,解：f1(t)的傅里叶变换为,f0(t)的傅里叶变换为,78,fT(t)的傅里叶系数为,fT(t)的傅里叶级数为,实际上,79,4.8 LTI系统的频域分析,一.频率响应 系统的时域分析法用(t)或(t)作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数ejt作为基本信号。在时域分析中，系统的零状态响应为 yzs(t)=h(t)*f(t)应用傅里叶变换的时域卷积
22、性质，上式成为 yzs(t)=F 1H(j)F(j)频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下yzs(t)简写为y(t)。,80,LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=ejt(t)，则系统的零状态响应 y(t)=h(t)*f(t),式中H(j)是h(t)的傅里叶变换，称为系统频率响应函数或系统函数。H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位变化。任意信号f(t)可以看作无穷多个虚指数信号ejt之和，即,81,任意信号激励下的零状态响应的推导：,H(j)也可定义为,|H(j)|称为幅频特
23、性，()称为相频特性。,82,例：求系统y(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(t)=et(t)。解：对微分方程取傅里叶变换得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得,激励的傅里叶变换,响应的傅里叶变换,取傅里叶逆变换得系统响应 y(t)=(ete2t)(t),83,例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应uC(t)。,解：电路频率响应函数为,激励的傅里叶变换,84,电路零状态响应uC(t)的频谱函数为,取傅里叶逆变换得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t)根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函数，由H(j)可求得系统的零状态响应。,85,例：求图示系
24、统的输出y(t)。已知,解：门函数的频谱函数为,取4，根据对称性可得 4Sa(2t)2g4()=2g4()即 F sin(2t)/t=g4()s(t)的频谱函数为F cos(3t)=(+3)+(3),86,根据系统图得y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t)取傅里叶变换得,87,取逆变换可得,88,二.无失真传输,无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(ttd)对上式取傅里叶变换得：Y(j)=KejtdF(j)系统的频率响应函数为：H(j)=Kejtd 所以无失真传输的条件为|H(j)|=K()=td,89,无失真传输系统的冲激响应为 h(t)=K(ttd)无失真传输系统的
25、冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。三.理想低通滤波器的响应理想低通滤波器可看作频域中宽度为2c的门函数,根据对称性，由,得,90,令=2c，得,所以,理想低通滤波器的冲激响应,冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。,91,理想低通滤波器的阶跃响应为,式中Sa(x)为偶函数，其积分,定义正弦积分,所以,令 c(td)=x xc=c(ttd),92,物理可实现系统应满足的条件：时域（因果条件）h(t)0,t0 g(t)0，t0 频域(Paley-Wiener准则)幅频特性满足平方可积,而且满足,物理可实现系统，其H(j)可以在某些孤立点上为0
26、，但不能在某个有限频带内为0。,93,4.9 取样定理,一.信号的取样 取样利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中取出一系列离散样本值fs(t)的过程。fs(t)=f(t)s(t),fs(t)称为取样信号，s(t)称为开关函数，Ts为取样周期，s为取样角频率。,94,取样的目的：将模拟信号转换为数字信号。取样的要求：保持原有信号的所有信息。由频域卷积定理可得取样信号的频谱函数,开关函数可以为冲激函数系列或矩形脉冲系列。冲激取样梳状函数,其频谱函数(见P169)也为周期脉冲系列,95,如果连续信号f(t)为区间(m，m)内频带有限信号(简称带限信号)，则,96,当s2m时，不发生混叠现
27、象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。例：对信号f(t)=2sin0t+sin30t进行冲激取样，取样频率应为多少？因为m=30，所以s60。矩形脉冲取样 取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为(Ts)的矩形脉冲序列 s(t)=pTs(t)其频谱函数(见P168)为,97,则取样信号的频谱函数,98,二.时域取样定理,为了从Fs(j)中无失真地恢复F(j)，选择一个理想低通滤波器(时延为0，幅度为Ts),输出信号频谱F(j)=Fs(j)H(j),99,低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为,由此得,令 c=s/2,100,101,102,时域取样定理：一个频谱在区间(m，m)以外
28、为零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts2m)上的样点值f(nTs)确定。奈奎斯特(Nyquist)频率：取样频率的下限fs2fm；奈奎斯特间隔：取样间隔的上限TsTm/2。例1：求信号f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。解：因为 m2fm10 rad/sf(t)最高频率 fm5/Hz奈奎斯特频率 fs2fm10/Hz奈奎斯特间隔 Ts 1/fs/10 s,103,例2：求信号f(t)Sa(100t)的取样频率。解：因为 Sa(t/2)2g()取200，其m100 rad/s，fm50/Hz所以 fs100/Hz，Ts/100 s频域取样定理：一个在时域区
29、间(tm，tm)以外为零的有限时间信号f(t)的频谱函数为F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs(fs1/2tm)上的样点值F(jns)确定。,104,题4.20(5)、(8),解(5)：设f1(t)tf(t)，f2(t)f1(1t)(1t)f(1t)，其频谱函数分别为,解(8)：设f1(t)f(32t)，f2ejtf1(t)ejtf(32t)，其频谱函数分别为,注意！,105,题4.21(4),解：因为,给定频谱函数,106,107,题4.21(4),另一种解法：F(j)()(2)e-jg2(1)ej因为 Sa(t/2)2g()令=2得,时移,频移,所以,108,题4.22(b),解：图示
30、频谱函数为,根据变换对 Sa(t/2)2g()取0，则,所以,109,题4.33,解：因为 s(t)S(j)所以,频谱函数为,系统的频率响应为,110,题4.33,也可这样求,频谱函数为,111,题4.40,112,113,题4.47,解：因为,所以Fn=1。由于=1，频谱函数为,114,系统的响应为：,实际上,f(t)加入低通滤波器后输出只有前二项分量。,115,题4.48,(1)时域压缩为1/3，频域展宽3倍，fn=300Hz，所以 fs600 Hz(2)f2(t)的频谱函数为F(j)*F(j),116,卷积的频率范围为(2m400 Hz(3)时域卷积对应频域相乘，两频谱函数的最高频率分别
31、为100Hz和200Hz，取小fm=100Hz，所以 fs200Hz(4)f(t)+f2(t)，两频谱函数相加，取大fm=200Hz，所以 fs400Hz,117,题4.49,解：(1)F(j)=10()+2(+1)+(1)+(+21)+(21)(1=2f1),s2fs25f151,118,(2)低通滤波器的截止角频率为2kHz fc 3kHz,119,题4.50,解：(1)因为s=20.8f1=0.81，取样信号频谱函数,(2)滤波(0.5f1f0.5f1)后频谱函数 Y(j)=10()+2(+0.21)+(0.21)+2(+0.41)+(0.41)y(t)=5+2cos(0.21t)+2cos(0.41t),120,题4.52,解：先分别求出X1(t)和X2(t)的频谱函数,121,输出信号的频谱函数,122,Y(j)的频谱图,123,习 题 4.6(4);4.9;4.10;4.12 4.13(a),(b);4.15;4.17(1),(2);4.18(1),(2);4.18(5);4.19(a);4.20(3),(7),(9);4.21(3),(5);4.22(a);4.25;4.27;4.28;4.30(2);4.31;4.34;4.37;4.38;4.42;4.45;4.51,
