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1、第7章 方差分析,Analysis of Variance（ANOVA）,Section 7.1Principle of ANOVA方差分析的基本原理,什么是方差分析,ANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher以F命名，故方差分析又称 F 检验（F test）。用于推断多个总体均数有无差异,什么是方差分析(一个例子),某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。四种饲料对鱼的增重效果是否相同,什么是方差分析(例子分析),一个因素(factor)：饲料四个水平
2、(level)：A1、A2、A3、A4每一个水平重复试验四次设1为饲料A1的平均增重，2为饲料A2的平均增重，3为饲料A3的平均增重，设4为饲料A4的平均增重，检验四种饲料对鱼的增重效果是否相同，也就是检验下面的假设H0:1 2 3 4 HA:1,2,3,4不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析,方差分析的基本思想,将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。,离均差平方和的分解,组间变异,总变异,组内变异,离均差平方和的分解(例子分析),共有三种不同的变异 总变异（Total variation）：全部测量值 与总均
3、数 间的差异 组间变异（between group variation）：各组的均数 与总均数 间的差异组内变异（within group variation)：每组的每个测量值 与该组均数 的差异用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小,总变异:所有测量值之间总的变异程度,计算公式矫正系数,组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和,计算公式,SSt反映了各组均数 的变异程度组间变异随机误差+处理因素效应,组内变异,在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异，也称SSe。用各
4、组内各测量值 与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式,三种“变异”之间的关系,平方和分解自由度分解导致组内数据不一致的原因随机误差导致组间数据不一致的原因处理因素随机误差,Variation Due to Treatment SSB,Variation Due to Random Sampling SSW,Total Variation SST,Commonly referred to as:Sum of Squares Within,orSum of Squares Error,orWithin Groups Variation,Commonly referred
5、to as:Sum of Squares Among,orSum of Squares Between,orSum of Squares Model,orAmong Groups Variation,=,+,One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation,平方和、自由度计算实例,矫正系数总平方和,平方和、自由度计算实例(续1),处理间平方和处理内平方和,平方和、自由度计算实例(续2),总变异自由度处理间变异自由度处理内变异自由度,均方差,均方(mean square,MS),变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不
6、相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组间均方和组内均方的计算公式为:,F 值与F分布,如果各组样本的总体均数相等（），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称为F统计量 F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时，F统计量服从F分布。,F 分布曲线,单侧临界值,在第1自由度为、第2自由度为 的F分布曲线图下，右方的面积为 a,则称 为第1自由度为
7、、第2自由度为 的F分布概率为 a 的单侧临界值。可查表。,a,0,F,F 界值表,附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05 下行：P=0.01,均方差、F值计算实例,平均值之间的多重比较,不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足 分析终止。拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？需要进一步作多重比较。,多重比较方法,统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons)多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法),最小显著差数法(LSD法，least sign
8、ificant difference),计算显著水平为的最小显著差数，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较若，则 与 在水平上差异显著若，则 与 在水平上差异不显著 计算：,LSD计算实例,4种饲料对鱼增重的差异显著性,Section 7.2ANOVA for Completely Randomized Design完全随机试验资料的方差分析,一个例子,以A、B、C、D4中药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如下表。问4种药剂对水稻苗高的影响是否相同？,建立检验假设,H0:，即4种药剂处理总体体均数相等 HA：4种药剂处理总体均数不全相等,计算离
9、均差平方、自由度、均方,计算离均差平方、自由度、均方(续1),计算离均差平方、自由度、均方(续2),计算F值,水稻药剂处理苗高方差分析表,结论,在显著性水平0.01下，不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。,注意：当处理数为2时，完全随机设计的方差分析结果与两样本均数比较的t检验结果等价，对同一资料,有：,多重比较(采用LSD法),4种药剂对水稻苗高的差异显著性,Section 7.3ANOVA for Randomized Block Design随机区组试验资料的方差分析,一个例子,有一个小麦品比试验，共有A、B、C、D、E、F、G、H 8个品种（k=8），其中A是标准品种，采用随机区组设计，重复3次（n=3），小区计产面积25cm2，其产量结果列于下表，试作分析。,一个例子(续1),小麦品比试验(随机区组)的产量结果(kg),平方和和自由度的剖分,平方和剖分自由度剖分,平方和计算,平方和计算(续1),自由度计算,均方和F值计算,实际计算,实际计算(续1),实际计算(续2),实际计算(续3),水稻药剂处理苗高方差分析表,实际计算(续4),与对照品种A的产量差异显著性,
