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1、2023/5/27,1,9.6 平面上曲线积分与路线无关的条件,第九章,一、平面曲线积分与路线无关的条件,二、原函数计算举例,三、小结与思考练习,2023/5/27,2,在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在一个例子中,以 A 为起点B 为,终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也,不同,但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终,点有关,与路线的选取无关.本节将讨论曲线积分在,什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.,2023/5/27,3,一、平面曲线积分与路线无关的条件,B,A,如果在区域G内有,1.曲线积分与路线无关的定义,2023/5/27,4,(ii)对
2、 D 中任一按段光滑曲线 L,曲线积分,与路线无关,只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,(iv)在 D 内处处成立,定理1 设 D 是单连通区域.若函数,在 D 内连续,且具有一阶连续偏导数,则以,下四个条件两两等价:,(i)沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L,有,2023/5/27,5,由上述证明可看到二元函数,具有性质,二、原函数计算举例,2023/5/27,6,2023/5/27,7,2023/5/27,8,2023/5/27,9,2023/5/27,10,2023/5/27,11,例3 计算曲线积分,解 由于,2023/5/27,12,2023/5/27,13,解,2023/
3、5/27,14,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,内容小结,2023/5/27,15,作业,习 题 9-6 P221 2(2);3(2);,2023/5/27,16,思考与练习,解:,2023/5/27,17,2.试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理1,曲线积分,只与起点 A 和终点 B 有关,而与路线的选择无关.,线段 于是有,2023/5/27,18,A,B 的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得,所以,2023/5/27,19,D 内任意一点.由(ii),曲线积分,则函数,对于 x 的偏增量(图21-20).,2023/5/27,20,因为在 D 内曲
4、线积分与路线无关,所以,值定理可得,2023/5/27,21,一点处都有,以及 P,Q 具有一阶连续偏导数,便可知道在 D 内每,2023/5/27,22,条件,就得到,上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了,它们是相互等价的.,2023/5/27,23,例,解,应用定理1 中的条件(iv)考察2 中的两个例子,2023/5/27,24,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,2023/5/27,25,例,解,2023/5/27,26,2023/5/27,27,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,2023/5/27,28,注 由定理1 可见,若,原函数可用公式,或,则求全微分的,
