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1、第四章 逻辑函数及其化简,4.1 逻辑函数化简的意义和含义4.2 用逻辑代数基本函数定律和公式化简逻辑4.3 用卡诺化简逻辑函数4.4 含有无关项的逻辑函数化简,1.由表达式到逻辑电路图()2.由逻辑电路图写出表达式()3.具体的二值问题表达式逻辑电路图？引出用数字电路解决现实生活中的逻辑问题组合电路设计。,一、逻辑函数化简的意义【例4-1】某单位安排三位面试官对前来应聘的人员进行面试，其中1位为主面试官，另2位为副面试官，面试时，按照少数服从多数原则，有2位面试官同意录用即可录用，但如主面试官认为可以录用也能录用，试设计一逻辑电路实现此面试规定。,4.1 逻辑函数化简的意义和含义,组合逻辑电
2、路的设计一般可按以下步骤进行：把逻辑问题符号化。即输入条件用输入变量表示，输出结果用输出变量表示；根据题意列出真值表。把输入变量的所有输入组合与对应的输出变量值，用表格的形式一一列举出来；由真值表写出逻辑表达式。真值表中输出变量为“1”的每一组输入变量组合都可使逻辑问题的结果为真，因此，能使输出变量为“1”的每一组输入变量组合相或就得到了逻辑表达式，其中“1”用原变量表示，“0”用反变量表示；（其中1表示原变量，0表示反变量）画出逻辑电路图。,【例4-2】分析图所示逻辑电路图的逻辑功能。,二、组合电路的分析,组合电路的分析一般可按以下步骤进行：根据逻辑电路图，写出输出变量对应输入变量的逻辑函数
3、表达式。具体做法可按从左到右或从右到左逐级写出每个门输出与输入的逻辑表达式，最终得到整个电路输出与输入的逻辑表达式。由逻辑表达式推出真值表。写出逻辑功能。,根据前面分析可见，例4-1和例4-2实现的功能是一样的，但是图明显比图简单的多。由此引出函数化简。所谓函数化简就是把逻辑函数表达式转换成最简与或表达式，最简与或表达式的特点是表达式中与项最少，且每个与项中变量个数最少。,引言逻辑代数基本公理,公理1：设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0。这个公理决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数值的0和1，而是代表两种逻辑状态。公理2：。式中点表示逻辑与，在用文字表述时
4、常省略；加号表示逻辑或。公理3：。公理4：。公理5：；。,4.2 用逻辑代数基本函数定律和公式化简逻辑,逻辑代数的基本公式、定律和规则,4.2 用逻辑代数基本函数定律和公式化简逻辑,逻辑相邻项：任何两个相同变量的逻辑项，只有一个变量取值不同，一项以原变量形式出现，另一项以反变量形式出现。,逻辑代数的基本公式、定律和规则,一、逻辑函数的公式化简法 逻辑函数的公式化简法实际上就是反复应用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑函数进行运算和变换，以求得逻辑函数的最简形式。常用的方法如下：1.并项法 根据 可以把两项合并为一项，保留相同因子，消去互为相反的因子=2.吸收法 根据A+A B=A 可将AB项消
5、去。A和B可代表任何复杂的逻辑式。3.消项法 根据 可将BC项消去。A、B和C可代表任何复杂的逻辑式,4.消因子法 根据 可将式中的因子消去。A和B可代表任何复杂的逻辑式。5.配项法 根据A+A+=A可以在逻辑函数式中重复写入某一项，以获得更加简单的化简结果。用公式法化简逻辑函数，需要对逻辑代数的基本公式和常用公式比较熟悉，它没有固定的规律，适于化简变量比较多的逻辑函数。,1.卡诺图化简逻辑函数的理论依据 由于卡诺图中几何位置相邻的最小项符合逻辑相邻的原则，而逻辑函数化简的实质就是合并逻辑相邻的最小项，因此，直接在卡诺图中合并几何相邻的最小项即可，合并的具体方法是将所有几何相邻的最小项圈在一起
6、进行合并。,4.3 用卡诺化简逻辑函数,n个变量X1,X2,Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。,补充 1.最小项,对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。,对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；,对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；,三个变量的所有最小项的真值表,2.最小项的性质,3.最小项的编号,三个变量的所有最小项的真值表,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。,4.逻辑函数的最小项表达式,
7、为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。,=m7m6m3m5,逻辑函数的最小项表达式：,化成最小项表达式,1.去掉非号,2.去括号,例2 将,2.卡诺图的引出,卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。,逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，就称这两个最小项具有相邻性。,2.卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。,3.已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数为最小项表达
8、式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,例2 画出下式的卡诺图,2.填写卡诺图,4.用卡诺图化简逻辑函数,1.化简的依据,2.化简的步骤,用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：,(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。,(1)将逻辑函数写成最小项表达式,(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。,(3)合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表
9、示。,画包围圈时应遵循的原则：,例:用卡诺图法化简下列逻辑函数,画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式,解：由L 画出卡诺图,(0，2，5，7，8，10，13，15),例:用卡诺图化简,圈0,圈1,请大家练习下列题目,例：利用卡诺图化简函数Y=m（1，4，5，6，8，12，13，15）。解：画出Y的卡诺图，如图1-12所示。合并“1格”。图中画了1个“四格组”的圈，4个“两格组”的圈，但这种方案是错误的，因为“四格组”圈中所有“1格”都被圈过两次。正确方案是只保留图中四个“两格组”的圈。写出最简与或表达式 例：利用卡诺图化简函数 解：画出Y的卡诺图，如图1-13所示。合并“1格”。注意四个角上
10、的“1格”应圈在一起进行合并。写出最简与或表达式:,4.4 含有无关项的逻辑函数化简 一个n变量的逻辑函数共有2n种取值组合，对应2n个最小项。但是，在某些逻辑问题中，其中有些取值组合不允许出现，则这些取值组合对应的函数值是1还是0没有意义，因此在卡诺图中，可以随意地将不允许出现的取值组合对应的的最小项方格当作1或0处理。在卡诺图中用表示。,例如,有三个变量A,B,C,它们分别表示一台电动机的正转,反转和停止命令,A,B,C都为0的时候表示电机不工作.A=1表示正转,B=1表示反转,C=1表示停止.因为电机任何时候只能执行其中的一个命令,所以不允许两个或两个以上的变量同时为1.A,B,C的取值
11、可能是001,010,100,000当中的某一种,而不能是011,101,110,111中的任何一种.因此A,B,C是一组具有约束的变量.,逻辑函数中不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项.有些逻辑函数,当变量取某些组合时,函数的值可以任意，既可以为0也可以为 1,这样的变量组合所对应的最小项称任意项.我们把约束项和任意项统称为逻辑函数的无关项.只有对应变量取值出现时,最小项的值才会为1.而约束项对应的是不会出现的变量取值,任意项对应的取值一般也不会出现.所以无关项的值总等于0 由无关项加起来所构成的值为0的逻辑表达式称为约束条件.约束项一般用di表示。使用卡诺图化简时，充分利用约束项可构成更大的包围圈，从而获得更为简单的与或表达式。,例:要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。,解:(1)列出真值表,(2)画出卡诺图,(3)卡诺图化简,
