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1、5.3 叠加法计算梁的挠度和转角,1.梁弯曲的典型情况,简支梁（抗弯刚度为 EI）,5.3 叠加法计算梁的挠度和转角,悬臂梁（抗弯刚度为 EI）,1.梁弯曲的典型情况,例 求图示抗弯刚度为 EI 的悬臂梁自由端的挠度和转角。,2.叠加原理,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,叠加法的特征：,1)荷载的分解或重组,3.应用叠加原理的若干情况,例,求图示自由端的挠度。,C 点的挠度，是由 AB 段变形的影响和 BC 段变形
2、的影响共同构成的。,依据：若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。,2)逐段刚化法,注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。,例 求图示 A 端的竖向位移。,分析和讨论,竖梁压缩对 A 端竖向位移的贡献有多大？,竖梁压缩量,竖梁弯曲的贡献,两者之比,以圆杆为例,例 求如图外伸梁 A 点的竖向位移。,分析 应将梁划分为两个区段，并将每个区段的受力化为标准形式。,例 求如图外伸梁 A 点的竖向位移。,例 长度为 L，抗弯刚度为 E
3、I 的悬臂梁下方靠着一个半径为 R 的刚性圆柱，R L，其自由端受力为 F，求梁的最大挠度。,分析,例 长度为 L，抗弯刚度为 EI 的悬臂梁下方靠着一个半径为 R 的刚性圆柱，R L，其自由端受力为 F，求梁的最大挠度。,分析,产生贴合所需要的力 F：,先考虑贴合区段长度。,梁根部挠曲线的曲率半径与 R 相同，才可能产生贴合。,例 长度为 L，抗弯刚度为 EI 的悬臂梁下方靠着一个半径为 R 的刚性圆柱，R L，其自由端受力为 F，求梁的最大挠度。,在 C 处,先考虑贴合区段长度。,1）梁的刚度条件,其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。,、校核刚度：,、设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度
4、常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,2）刚度计算,、确定外载荷。,5.4 梁的刚度计算,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：,材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。（转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂）,、增大梁的抗弯刚度（EI）,、调整跨长和改变结构,3）提高梁的刚度的措施,注意：同类的材料，“E”值相差不多，“j x”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料，“
5、E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变。,分析和讨论,在下列不同的加载方式中，哪一种刚度最高？,分析和讨论,分析和讨论,在下列不同的支承方式中，哪一种刚度最高？,分析和讨论,梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能够改善强度吗？,梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？,能够改善刚度吗？,梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？,例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号。,解：1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,解得,由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz3.09l0-4m3，惯性矩Iz=3.4010-5m4，可见选择22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。,本 章 内 容 小 结,梁的挠度和转角,积分法求梁的变形,简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。,积分常数的确定,挠度各阶导数的意义,如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份构成，则必须引用连续光滑条件。,荷载的分解或重组,注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。,逐段刚化求解,注意不要遗漏影响所求位移的因素。,
