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1、,8-3 格林公式.平面第二型曲线积分 与路径无关的条件,单连通与多连通区域,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗 地说，平面单连通区域是不含有“洞”（包括点“洞”）的区 域,复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域.例如，平面上的圆形区域,上半平面 都 是单连通域.,定义 规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.如图,定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,1.格林公式,证 先证,根据区域D
2、 的不同，我们分三种情况进行证明：,（1）,根据曲线积分的性质及计算法，有,另一方面，根据二重积分的计算法，有,比较上面两式，即得所要的公式（8.4）,(2)若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个.,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,(3)D 是多连通区域,类似地可证,将前面已证明的关于 及 的公式相加，即得到格林公式.,解 利用格林公式，,例2 求椭圆 的面积D.,解 椭圆的边界方程为,D 的面积,例3 求曲线积分,解,为利用格林公式，故需分两种,情况讨论.,(1)当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y),在D 内有连
3、续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出,(2)当L所围的区域D 包含原点作为其内点时，由于P(x,y),Q(x,y)在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足 格林公式成立的条件，故不能在区域D 上用格林公式.,为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的 r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域 上，可利用格林公式.设C的边界曲线为，则有,此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分.,其中 表示函数u(x,y)沿L的外法线方向的方向导数，,应满足,其中 为z轴正方向的单位
4、向量.由于,说明 的方向余弦为.于是由方向导数的定义，有,例 5 设区域D的边界为闭曲线L.某稳定流体(即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关)在 上每一点(x,y)处的速度为,其中P(x,y),Q(x,y)在 上有一阶连续偏导数.该流体通过闭曲线L的流量 定义为,其中 为L的外法线方向的单位向量.试证明,证 设 的切向量的方向余弦为 由例4知,（格林公式的另一种形式）,称函数 为平面向量场,的散度.,物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等,于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.,提示,格林公式:,设区域D的边界曲线为L 则,在格林公式中 令Py Qx 则有,用格林公式计算区域的面
5、积,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数,这是因为 设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线 而且有,定理2(曲线积分与路径无关的判断方法),证,充分性,已知上述等式在D内处处成立.在D内任,必要性 我们假定上述积分与路径无关，要证明等式,上述等式不成立，不妨设,由假设可知函数 在D内连续.因而在D内存在以 为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域，使在整 上，有 设 的边界线为，在 上用格林公式，有,但 是D 内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应 有 于是发生矛盾.证毕,.
6、,应用定理2应注意的问题,(1)区域D是单连通区域(2)函数P(x y)及Q(x y)在D内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立,讨论,提示,在例4中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及,连续性条件的点O.,例 6 求曲线积分,解,因为,又它们在全平面上连续，所以积分与路径,无关.取下列直线段 为积分路径：,当曲线积分 与路径无关时，它只是起点A 与点的函数，可记作,下面我们给出第二型曲线积分与路径无关的另一个充分条件.,定理3,设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数
7、则等式,du(x,y)=P(x y)dxQ(x y)dy,证 充分性,已知存在函数u(x,y),使 du=PdxQdy.于是,由此可得,必要性,已知等式 在D内处处成立，由定理,2，曲线积分,与路径无关.,现在我们固定起点 而 点B(x,y)可在D 移动，则上述曲线积分就是 点(x,y)的函数，用u(x,y)表示这个函数，即令,现在，我们来证明有上式所确定的函数u(x,y)满足关系 式：,在D内任意取定点B(x,y),再任取 且使 也在D内.由于积分与路径无关，因此,其中 介于 x与 之间.,另一方面，P(x,y),Q(x,y)的连续性意味着 的连续性，从而推出函数u(x,y)在D 可微且,推
8、论 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数 对任意两点 曲线积分与路径无关的充要条件是：P(x y)dxQ(x y)dy恰是某一函数u(x y)的全微分，此外，当PdxQdy是u(x y)的全微分时，有,(8.7),其中u(A)表示函数u(x,y)在A点处的函数值，u(B)的含意 类似.,证 现证公式(8.7).,过A，B两点在D 内任意作一曲线,设 的参数方程为,如果函数u(x y)满足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数.,例7 求曲线积分,解,又P(x,y),Q(x,y)在任一包含点,A
9、，B且不与y轴相交的单连通区域D内有连续的一阶偏导数，所以曲线积分在D内与路径无关.,于是,方法一,方法二,(1)先固定,将 看作是 的函数,为了求 的原函数,显然,令,对 积分可求出,方法三:,凑全微分法,分无关；,对平面上任意两点A，B，证明 与积,例 8,(2)求 的原函数u(x,y);,(3)求曲线积分,解,(1)由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数,且 所以曲线积分与路径无关.,(2)方法一 用曲线积分法.选坐标原点为曲线积分的起 点，对平面上任意一点B(x,y),取积分路径为折线OCB，其 中C(x,0).,方法二 固定y,关于 对x求不定积分，得其一原函数,这样，的原函数 u(x,y)可表成,其中 是一待定函数.再由,得 求原函数得 其中C为任意常数.代入上述u的表示式得,方法三,所以,
