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1、,数值计算方法,(2011),河北联合大学,第7章 矩阵特征值的数值计算方法,1,2,3,4,5,理论基础,幂 法,规范幂法,反 幂 法,QR分解法,主要内容,4,参考文献,6,概念回顾,方阵的特征值与特征向量,特性回顾,特征值与特征向量的性质,第一节 理论基础,A：n阶方阵，若数,和 n 维非,零列向量 X 使关系式,成立，则,称为方阵A的特征值，,X 称为A的对应于特征值,的特征向量。,概念回顾,定义1,矩阵的特征值与特征向量,如,取,是特征向量.,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,称为方阵A的特征多项式,显然，A的特征值就是特征方程的根,也称特征根。,（重根按重数计算），,n阶方阵A有n
2、个特征值。,特征方程、特征根,定义2,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,求矩阵,的特征值和特征向量。,令,特征值为,解析,方程组,从而解得基础解系,当,时，求解齐次线性方程组,得对应的方程组为,从而解得基础解系,全部特征向量为,如果矩阵,满足,则称,是幂等矩阵。,（幂等矩阵的特征值只能是0或1）,定义3,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。,特性回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,推论：,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。,特性
3、回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,定理2,推论：,和,特征向量间的线性相关性,定理3,定理4,特性回顾,设,是n 阶矩阵A,的特征值，,是A的属于,的特征向量，则,（1）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（2）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（3）对任意正整数,，,是矩阵,的特征值；,（4）当矩阵,可逆时，,是矩阵,的特征值；,特征值,定理5,的特征值；,（其中）,的特征向量。,定理6,应用范例,解析,的特征值为,，,，,于是,定理6,定理7,定理8,用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系,程序设计,A=1,-1,2,-6;MatrixForm%xa=-0.5,1;Doxb=
4、A.xa;Printk,xb,xb1/xa1,xb2/xa2;xa=xb/MaxAbsxb,k,1,15EigensystemNA;MatrixForm%,1-0.5,1-1.5,-7.3.-7.2-0.214286,-1.0.785714,5.57143-3.66667-5.571433 0.141026,1.-0.858974,-5.71795-6.09091-5.717954-0.150224,-1.0.849776,5.69955-5.65672-5.699555 0.149095,1.-0.850905,-5.70181-5.70712-5.701816-0.149234,-1.0.
5、850766,5.70153-5.70088-5.701537 0.149217,1.-0.850783,-5.70157-5.70165-5.701578-0.149219,-1.0.850781,5.70156-5.70155-5.701569 0.149219,1.-0.850781,-5.70156-5.70156-5.7015610-0.149219,-1.0.850781,5.70156-5.70156-5.70156,运行结果,程序设计,A=1,1,0.5,1,1,0.25,0.5,0.25,2;MatrixForm%va=1,1,1;Dovb=A.va;Printk,vb,vb
6、2/va2;va=vb,k,1,20EigensystemNA;MatrixForm%,1 2.5,2.25,2.75 2.253 15.2188,13.3906,19.0469 2.462645 96.0293,83.7666,125.511 2.510157 613.714,533.719,814.025 2.5274 3939.55,3422.47,5251.63 2.533411 25327.1,21994.9,33820.2.5354613 162910.,141460.,217665.2.53616 6 615 1.04806 10,910025.,1.4006 10 2.5361
7、6 6 6 617 6.74299 10,5.8548 10,9.01171 10 2.53648 7 7 719 4.33837 10,3.7669 10,5.79817 10 2.53651 8 7 820 1.10044 10,9.55481 10,1.47073 10 2.53652,运行结果,A=3,2,1,-1,8,2,1,4,16;MatrixForm%y=-1,1,0.5;Dox=LinearSolveA,y;Printk,y,x,;y=x/MaxAbsx,k,1,20u=y1/x1v=yEigensystemNA;MatrixForm%,反幂法的规范运算,程序设计,第四节 Q
8、R分解法,Q R 分解,?,QR分解的思路,分解,变换,Q R 分解,ClearA=9,4,2,2,8,4,6,7,1;MatrixForm%DetAq,r=QRDecomposition A/N;Q=%1;MatrixForm%Det%R=%2;MatrixForm%TransposeQ.R;MatrixForm%EigenvaluesNA,ClearA,H,QA=5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5;MatrixForm%DetADoq,r=QRDecompositionH/N;H=r.Transposeq;Printk=,k;PrintQ=,MatrixFormTransposeq;PrintH=,MatrixFormH,k,1,10EigenvaluesNA,
