第一章矩阵代数.ppt

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1、第一章 矩阵代数,1.1 定义1.2 矩阵的运算1.3 行列式1.4 矩阵的逆1.5 矩阵的秩1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹1.7 正定矩阵和非负定矩阵1.8 特征值的极值问题,1.1 定义,pq矩阵:,p维列向量:,q维行向量:a=(a1,a2,aq),向量a的长度:,单位向量:,若A的所有元素全为零,则称A为零矩阵,记作A=0pq或A=0。若p=q,则称A为p阶方阵,a11,a22,app称为它的对角线元素,其他元素aij(ij)称为非对角线元素。若方阵A的对角线下方的元素全为零,则称A为上三角矩阵。显然,aij=0,ij。若方阵A的对角线上方的元素全为零,则称A为下三角矩阵。显然,a

2、ij=0,ij。若方阵A的所有非对角线元素均为零,则称A为对角矩阵,简记为A=diag(a11,a22,app)。若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1,则称A为p阶单位矩阵,记作A=Ip或A=I。,若将矩阵A的行与列互换,则得到的矩阵称为A的转置,记作A,即若方阵A满足A=A,则称A为对称矩阵。显然,aij=aji。,1.2 矩阵的运算,若A=(aij):pq,B=(bij):pq,则A与B的和定义为A+B=(aij+bij):pq若c为一常数,则它与A的积定义为cA=(caij):pq若A=(aij):pq,B=(bij):qr,则A与B的积定义为,运算规律,(1)(A+B)=A+B。

3、(2)(AB)=BA。(3)A(B1+B2)=AB1+AB2。(4)。(5)c(A+B)=cA+cB。,若两个p维向量a和b满足ab=a1b1+a2b2+apbp=0则称a和b正交。几何上,正交向量之间相互垂直。若方阵A满足AA=I,则称A为正交矩阵。显然,i=1,2,p,即A的p个行向量为单位向量;,即A的p个行向量相互正交。又从AA=I得:(jk),即A的p个列向量也是一组正交单位向量。若方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。对称的幂等矩阵称为投影矩阵。,正交矩阵A的几何意义,将p维向量x看作是在Rp中的一个点,则x的各分量是该点在相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即1。若|A|=

4、1,则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转),y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标;若|A|=1,则包含了一个反射的坐标轴。当p=2时,按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度,所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为当p=3时同样有着直观的几何展示。由于yy=(Ax)(Ax)=xAAx=xx故在新、旧坐标系下,该点到原点的距离保持不变。,矩阵的分块,设A=(aij):pq,将它分成四块,表示成其中A11:kl,A12:k(ql),A21:(pk)l,A22:(pk)(ql)。若A和B有相同的分块,则,若C为qr矩阵,分成其中C11:lm,C12:l(rm)

5、,C21:(ql)m,C22:(ql)(rm),则有,例1.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A:pp的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块,并记由AA=I,得,于是故有即a1,a2,ap为一组正交单位向量。同理,由AA=I可证a(1),a(2),a(p)也是一组正交单位向量。,1.3 行列式,p阶方阵A=(aij)的行列式定义为这里 表示对1,2,p的所有排列求和,(j1j2jp)是排列j1,j2,jp中逆序的总数,称它为这个排列的逆序数,一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数。例如,(3142)=1+(1

6、342)=3+(1234)=3。,行列式的一些基本性质,(1)若A的某行(或列)为零,则|A|=0。(2)|A|=|A|。(3)若将A的某一行(或列)乘以常数c,则所得矩阵的行列式为c|A|。(4)若A是一个p阶方阵,c为一常数,则|cA|=cp|A|。(5)若互换A的任意两行(或列),则行列式符号改变。(6)若A的某两行(或列)相同,则行列式为零。(7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列),则所得行列式不变。(8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合,则行列式为零。,(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵,则(10)若A和B均为p阶方阵,则|AB|=|A|B|。

7、(11)|AA|0。(12)若A与B都是方阵,则(13)若A:pq,B:qp,则|Ip+AB|=|Iq+BA|例1.3.3 设x,y为两个p维向量,则|Ip+xy|=1+yx,代数余子式,设A为p阶方阵,将其元素aij所在的第i行与第j列划去之后所得(p1)阶矩阵的行列式,称为元素aij的余子式,记为Mij。Aij=(1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。有以下公式成立,1.4 矩阵的逆,若方阵A满足|A|0,则称A为非退化方阵;若|A|=0,则称A为退化方阵。设A=(aij)是一非退化方阵,若方阵C满足AC=I,则称C为A的逆矩阵,记为C=A1,A1必是一个非退化矩阵。令B=(Aij)

8、/|A|其中Aij是aij的代数余子式,则容易验证AB=BA=I。由于C=BAC=B,因此A1是惟一的,且(A1)1=A。,逆矩阵的基本性质,(1)AA1=A1A=I。(2)(A)1=(A1)。(3)若A和C均为p阶非退化方阵,则(AC)1=C1A1(4)|A1|=|A|1。(5)若A是正交矩阵,则A1=A。(6)若A=diag(a11,a22,app)非退化(即aii0,i=1,2,p),则(7)若A和B为非退化方阵,则,1.5 矩阵的秩,一组同维向量a1,a2,an,若存在不全为零的常数c1,c2,cn,使得c1a1+c2a2+cnan=0则称该组向量线性相关。若向量a1,a2,an不线性

9、相关,就称为线性无关。矩阵A的线性无关行向量的最大数目称为行秩,其线性无关列向量的最大数目称为列秩。矩阵的行秩和列秩必相等,故统一将其称为A的秩,记作rank(A)。,矩阵秩的基本性质,(1)rank(A)=0,当且仅当A=0。(2)若A为pq矩阵,且A0,则1rank(A)minp,q(若rank(A)=p,则称A为行满秩的;若rank(A)=q,则称A为列满秩的)。(3)rank(A)=rank(A)。(4)。(5)rank(AB)minrank(A),rank(B)。(6)若A和C为非退化方阵,则rank(ABC)=rank(B)(7)p阶方阵A是非退化的,当且仅当rank(A)=p(称

10、作A满秩)。(8)rank(AA)=rank(AA)=rank(A)。,1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹,一、特征值和特征向量二、矩阵的迹,一、特征值和特征向量,设A是p阶方阵,若对于一个数,存在一个p维非零向量x,使得Ax=x,则称为A的一个特征值或特征根,而称x为A的属于特征值的一个特征向量。依该定义有,(AI)x=0,而x0,故必有|AI|=0|AI|是的p次多项式,称为特征多项式。上式有p个根(可能有重根),记作1,2,p,它们可能为实数,也可能为复数(虽然A是实数矩阵)。反过来,若i是上式的一个根,则AiI为退化矩阵,故存在一个p维非零向量xi,使得(AiI)xi=0即i是A的一个

11、特征值,而xi是相应的特征向量。今后,一般取xi为单位向量,即满足xixi=1。,特征值和特征向量的基本性质,(1)A和A有相同的特征值。(2)若A和B分别是pq和qp矩阵,则AB和BA有相同的非零特征值。(3)若A为实对称矩阵,则A的特征值全为实数,p个特征值按大小依次表示为12p。若ij,则相应的特征向量xi和xj必正交,即xixj=0。(4)若A=diag(a11,a22,app),则a11,a22,app为A的p个特征值,相应的特征向量分别为e1=(1,0,0),e2=(0,1,0,0),ep=(0,0,1)。(5),即A的行列式等于其特征值的乘积。可见,A为非退化矩阵,当且仅当A的特

12、征值均不为零;A为退化矩阵,当且仅当A至少有一个特征值为零。,例1.6.4 设方阵A:pp的p个特征值为1,2,p,试证:(i)若A可逆,相应于1,2,p的特征向量分别为x1,x2,xp,则A1的p个特征值为,相应的特征向量仍为x1,x2,xp;(ii)若A为幂等矩阵,则A的特征值为0或1;(iii)若A为正交矩阵,则A的特征值为1或1。(6)若A为p阶对称矩阵,则存在正交矩阵T及对角矩阵=diag(1,2,p),使得A=TT上式两边右乘T,得AT=T将T按列向量分块,并记作T=(t1,t2,tp),于是有(At1,At2,Atp)=(1t1,2t2,ptp),故Ati=iti,i=1,2,p

13、这表明1,2,p是A的p个特征值,而t1,t2,tp为相应的(一组正交单位)特征向量。称之为A的谱分解。(7)若A为pq实数矩阵,则存在p阶正交矩阵U和q阶正交矩阵V,使得A=UV其中的(i,i)元素i0,i=1,2,min(p,q),其他元素均为零。正数i称为A的奇异值,上述分解式称为奇异值分解。,设rank(A)=k,则矩阵中只有k个正数,记为1,2,k。将正交矩阵U和V按列分块有,U=(u1,u2,up),V=(v1,v2,vq),令U1=(u1,u2,uk),V1=(v1,v2,vk),1=diag(1,2,k),则得到奇异值分解的另一表达式:这里u1,u2,uk是一组p维正交单位向量

14、,v1,v2,vk是一组q维正交单位向量,即有U1U1=V1V1=I。由A=UV知,AA=U2U,AA=V2V,于是AAui=i2ui,i=1,2,pAAvi=i2vi,i=1,2,q即 是AA 的p个特征值,u1,u2,up 是相应的特征向量;是AA 的q个特征值,v1,v2,vq 是相应的特征向量。,二、矩阵的迹,设A为p阶方阵,则它的对角线元素之和称为A的迹,记作tr(A),即tr(A)=a11+a22+app方阵的迹具有下述基本性质:(1)tr(AB)=tr(BA)。特别地,tr(ab)=ba。(2)tr(A)=tr(A)。(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)。(4)。,(5)

15、设A=(aij)为pq矩阵,则(6)设1,2,p为方阵A的特征值,则tr(A)=1+2+p(7)若A为投影矩阵,则tr(A)=rank(A),1.7 正定矩阵和非负定矩阵,设A是p阶对称矩阵,x是一p维向量,则xAx称为A的二次型。若对一切x0,有xAx0,则称A为正定矩阵,记作A0;若对一切x,有xAx0,则称A为非负定矩阵,记作A0。对非负定矩阵A和B,AB表示AB0;AB表示AB0。,正定矩阵和非负定矩阵的基本性质,(1)设A是对称矩阵,则A是正定(或非负定)矩阵,当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。(2)设A0,则A的秩等于A的正特征值个数。(3)若A0,则A10。(4)设A0,则A0,当且仅当|A|0。(5)若A0(或0),则|A|0(或0)。(6)BB0,对一切矩阵B成立。(7)若A0(或0),则存在 0(或0),使得 称为A的平方根矩阵。(8)设A0是p阶秩为r的矩阵,则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B,使得A=BB。,1.8 特征值的极值问题,(1)若A是p阶对称矩阵,其特征值依次为12p,则(2)若A是p阶对称矩阵,B是p阶正定矩阵,12p是B1A的p个特征值,则(3)柯西许瓦兹不等式(CauchySchwarz)若B0,则(xy)2(xBx)(yB1y),

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