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1、,第四节 非线性规划模型的解,二次插值法 最速下降法 罚函数法,非线性规划模型的一般形式：,一、无约束模型:,二、有约束模型：,一、无约束模型的解,沿某直线方向求目标函数的极小值点，称为一维搜索。,高维问题可通过一系列的一维搜索，求出其近似最优解。,讨论顺序：,1.一维搜索（二次插值法）,单峰函数,或,过三点作抛物线：,故方程组有唯一解，且,即抛物线的开口向上。,令,得极小值点,再从 中选出满足前面不等式的三点，,重复前面的过程，直到满足终止条件：,则,注：迭代时，若出现退化情形,#,2.最速下降法,f(X),D=f(X),第1步 求新点,设f(X)可微，给定初始点X1,0,每次沿使f 下降得
2、最快的负梯度方向 D=f(X)搜索，直到满足终止条件为止。,第k次迭代,令,注意：k不是步长（因Dk不是单位向量），,且非负（否则，不是下降得最快的方向）。,得新点,设已得Xk,第2步 验证终止条件,否则，将Xk+1作为新的出发点，作为新的迭代方向，进行下一次迭代。,有结论：,因为,可见，搜索路线呈之字形。,该法的优点是：不论维数多高，每次迭代只沿一个方向搜索。,“较圆”时，则收敛得较快；,“较扁”时，则收敛得较慢。,实际中，前面阶段可用最速下降法，后面阶段用旋转方向法。,缺点是：收敛速度“前快后慢”。,例 求解,解,因,所以令,则有,由,得新点：,第1步,第2步,因,令,沿 方向搜索，得,迭
3、代：,经5次迭代后得解点,而本题的精确最优解是：,搜索过程见P.32表1.11。,例1.24,例1.23,罚函数法,利用约束函数，引入辅助函数,思路：,二、有约束模型的解,构造非负函数：,作罚函数：,所有约束都满足,至少有一个不满足,作辅助函数：,原模型化为无约束模型：,对给定的 M1,求得最优解 X1=X(M1),当 时，,当 时，,否则，加大罚因子，迭代，,若满足终止条件,（X1近似可行）,可以证明：对于,因此，该方法也称为外点法。,#,例 用罚函数法求解,在图中阴影区域内（S外的点），用微分法求F的极小值点。,即,令,注：若不便用微分法求解，则可用无约束模型的搜索法对给定的Mi（或任意的M）求X(Mi),用终止条件终止计算。,变化过程见P.35,另外：还有混合罚函数法、内点法等。,
