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1、,31.05.2023,1,第二节 n阶行列式的定义,主要内容,1.问题的提出2.二阶、三阶行列式定义的规律3.排列的逆序数4.n阶行列式的定义5.n阶行列式的计算6.思考与解答,1、排列的逆序数,4、上（下）三角行列式的求法,内容回顾,2、逆序数的计算,3、n 阶行列式的定义,31.05.2023,3,第三节 行列式的性质及计算,主要内容,1.行列式的性质2.行列式的计算,一、行列式的性质,【性质1.1】行列式与它的转置行列式相等.,行列式性质：,意义：行列式中的行与列具有同等的地位；,行列式的性质凡是对“行”成立的，对“列”也同样成立。,【性质1.2】互换行列式的两行（列），行列式变号.,
2、例如:,证明：,设行列式D1=det(bij)是由行列式D=det(aij),（不妨设i j），于是,交换i,j 两行得到的,(代替),【性质1.2】互换行列式的两行（列），行列式变号.,证明：,(代替),【推论】如果行列式有两行（列）完全相同(对应元素相 同)，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,为什么？,例如,证明思想：,推论：,(1)行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面.(2)若行列式中有两行（列）成比例，则此行列式等于零.(3)若行列式中某一行（列）的元素全为零，则此行列式等于零.,【性质1.3】行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常数，等于用
3、数 乘此行列式.,8,从定义出发证，过程略。,很简单哟！,【性质1.4】若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.,即,【性质1.4】若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.,例如,这并不是唯一的分拆方法！,证明思想：,从定义出发证，过程略。,等价的说法：,若两行列式除了某一行（列）的元素之外其余元素均相同，则此两行列式之和等于只把该行对应元素分别相加、其余各行（列）保持不变所得的行列式之值。,例,【性质1.5】把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.,证明：,说明：,这实际上是性质1
4、.4与性质1.3的推论2的直接推论；,这条性质也将是我们化简计算行列式的主要依据，也被称为化简性质。,？,【性质1.5】把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.,(-2),=30,例如,=,运算符号：,交换行列式两行（列），记作,行列式第i行（列）乘以数k，记作,以数k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，记作:,元素的代数余子式：,在n 阶行列式中，划去元素 所在的第i行与第j列，剩下的元素按原来的相对位置所排成的n-1阶行列式，叫做原行列式中元素 的余子式，记作；,例如:行列式 中，,元素x 的余子式为,代数余子式为,注意：,引理：一个 n
5、阶行列式 D，如果其第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这行列式 D 就等于aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积，即：,证明：,先证 aij 位于第n行第n列处的情形:,此时,只有 时，才可能不为0.,引理：一个 n阶行列式 D，如果其第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这行列式 D 就等于aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积，即：,证明：,再证一般情形:此时,证明：,由性质1.4与上述引理可以很容易地推得该性质定理；,【性质1.6】行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:,说明：,该性质定理又称为行列式的按行展开定理；,同理也有按列展开定理：,
6、在实际应用中,常常选取零元素较多的一行或列,按该行或列施行展开,达到降阶、简化计算的目的。,意义：,实现了n 阶行列式到n-1阶行列式的（降阶）转换；,【性质1.6】行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:,例,三阶行列式：,【性质1.6】行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:,【性质1.7】行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即,举例：,把行列式 按第 行展开有,证明：,把行列式中的 换成 可得,同理,命题得证,【性质1.7】行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等
7、于0，即,说明：,该性质与按行展开定理合并可得公式：,自己乘自己的代数余子式等于原行列式；自己乘“别人的”的代数余子式等于0.,小 结,【性质1.1】行列式与它的转置行列式相等.,【性质1.2】互换行列式的两行（列），行列式变号.,【性质1.3】行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常数 k，等于用数 k乘此行列式.,【性质1.5】把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.,【性质1.4】若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.,二.余子式与代数余子式、行列式展开定理,一.行列式的性质(1-5条);,行列式的计算
8、一般有如下方法：,简单行列式用定义法直接计算；低阶行列式用三角法计算；高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。,三角法：,根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式(上三角行列式)，然后求得其值。,例1 计算,如何将其化成上三角形行列式呢？,一种有效的方法步骤是：从第一列开始，用主对角线上的非零元素将其下方的非零元素消去。,二、行列式的计算,解：,顺序不能写错,注意：,降阶法：,利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。,例1的解法2：,按 列展开,例2 计算,分析：,解：,该行列式的第3行元素可拆成两数之和。利用性质1.4
9、.,例2 计算,例3 计算,该行列式的特点是每行的和均相等.,分析：,例3 计算,练习：计算,解：,原式,6,6,6,6,=48,将第2、3、4行分别加到第1行上,作业：P9、1，2（1），3 P19、1(1)，2，3(1,4)，4(1,2,3),下节课：第三、四节，请大家做好预习！,行列式的计算一般有如下方法：,简单行列式用定义法直接计算；低阶行列式用三角法计算；高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。,三角法：,根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式(上三角行列式)，然后求得其值。,例1 计算,如何将其化成上三角形行列式呢？,一种有效的方法步骤是：从第一列开始，用主对角
10、线上的非零元素将其下方的非零元素消去。,二、行列式的计算,解：,顺序不能写错,注意：,降阶法：,利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。,例1的解法2：,按 列展开,例2 计算,分析：,解：,该行列式的第3行元素可拆成两数之和。利用性质1.4.,例2 计算,例3 计算,该行列式的特点是每行的和均相等.,分析：,例3 计算,分析：,能否利用主对角线的1，分别将其下方的x 都消去？,后续步骤很难进行！,例3 计算,分析：,能否利用下行中的x，将上行中的x 消去？且可以看到相邻两行之间数字均差1.,能否再将尽量多的1 消去？,此时再按第一列展开
11、，两个非零元素的余子式都已是简单的行列式了。,通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式-递推关系式，然后由递推关系式求解其值。,按第一列展开,递推法：,例3.计算,分析:,对行列式的计算,必须先找到行列式元素的变换规律。,比如本例中，主对角元中除 a1均为x,而主对角线斜上均为1，且再斜上均为0，故可按最后一行(列)展开，降为4阶行列再寻找规律,解:,解:,得出一递推公式,依次递推,得,而,故,例3.计算,作业.计算,分析:,对n阶行列式的计算,必须先找到行列式元素的变换规律。,比如本例中，主对角元中除 a1均为x,而主对角线斜上均为1，且再斜上均为0，故可按最后一行(列)展开，
12、降为n-1阶行列再寻找规律,解:,例3.计算,解:,得出一递推公式,依次递推,得,而,故,例4 计算,解：,按第一行展开，有,祥略,例5,证明范德蒙（Vandermonde）行列式,举例：,例5,证明范德蒙（Vandermonde）行列式,证明：,用递推法结合数学归纳法.,当n=2时，,结论成立.,假设结论对于n-1阶范德蒙行列式成立，对于n阶行列式,按第一列展开,n-1阶范德蒙德行列式,例5,证明范德蒙（Vandermonde）行列式,说明：,高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家在练习中不断总结、积累经验。,范德蒙（Vandermonde）行列式的结论是个重要结论，以后可以直接运用之；
13、,例6、行(列)和相等的行列式 典型题目,将第2、3、4列分别加到第1列上,练习,解,练习,作业：P9、1，2（1），3 P19、1(1)，2，3(1,4)，4(1,2,3),请大家做好预习！,【性质1.7】行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即,说明：,由性质1.6与性质1.2的推论很容易推出该性质定理；,三阶行列式：,其中,称为的余子式，记作，即,性质1.1：行列式与它的转置行列式相等。,推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零,性质1.2：互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论3：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等
14、于零。,性质1.4：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,则 此行列式等于两个行列式之和。,性质1.3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。,推论2：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。,推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。,复习：行列式的性质,性质1.5：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变.,例2 计算,分析：,已经可以按第一列展开了，但后续步骤仍难进行！,能否利用最后一行中的x，分别将其余的x 都消去？,当行列式中的零元素相当多时，可以用定义计算其值.,特别对于对角行列式、三角行列式；,例3,1、所有n!项中，只有1项不等于零！,2、把该项的元素按行标自然顺序排列，然后求列标的逆序数,印象：,
