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1、1,第二节 二重积分的计算法,计算二重积分的方法:,二重积分,累次积分(即两次定积分).,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,一、利用直角坐标系计算二重积分,3,(2)如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,X型,4,回忆：平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,5,计算截面面积,(红色部分即A(x0),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,用二重积分的几何意义说明其计算法:,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,6,先对y后对x的二次积分(累次积分),7,(2)积分区域为：,
2、先对x后对y的二次积分,也即,Y型,8,1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.,注意：,2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.,9,特殊地,即等于两个定积分的乘积.,D为矩形域:,则,则,axb,cyd,10,二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.,定限要注意的问题：,1.上限下限.,2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.,3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).,4.二重积分的结果应为常数.,11,例 计算,其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.,解法1：,先y后x,1
3、2,解法2：,先x后y,13,解,例 计算,(1,1),14,选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点.,凡遇如下形式积分:,后面积分.,15,解,积分区域如图,例 改变积分,的次序.,16,例,交换积分次序：,解,原式=,17,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,18,例 求证,左边的累次积分中,提示,不能直接计算，,是y的抽象函数,证毕.,要先交换积分次序.,证明,19,例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积.,20,解,曲面围成的立体如图.,例 求由下列曲面所围成的立体体积，,21,22,例,解,23,补充轮换对称性结论:,若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则,24,证,所以,例,25,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,小结,Y型,X型,（1）化二重积分为二次积分；,（2）交换积分次序；,题型,26,作业,习题8-2(1),(77页),3.(1)(3)(4)4.5.,6.(1)(2)7.(2)(3),27,计算(学生练习）,答案：,28,解,由给出的积分画出相应的积分区域,练习,
