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第十节闭区间上连续函数的性质,一、最值定理,二、介值定理,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,上连续,且恒为正,例2.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明:,作业：p-73习题1-10 2;3;4,
