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1、二项式系数的性质及应用,复习回顾:,二项式定理及展开式:,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,1,1,1,2,1,1,3,3,1,(a+b)6,二 项 式 系 数 的 性 质,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,二项式系数的性质,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书
2、里，记载着类似下面的表：,杨辉三角,表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和。,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质1：对称性,性质2：,性质3：增减性与最大值,当n是偶数时,中间的一项 取得最大值；,先增后减,当n是奇数时，中间的两 项 和 相等，且同时取得最大值。,课堂练习:,2、在(ab)10展开式中，二项式系数最大 的项是.,1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是 项.,思考：,在(a2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？,性质4：各二项式系数的和,也就是说,(a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n,？,2n,赋值法,性质1:在二项展
3、开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.,性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；,性质4：,性质2:,例1：证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例2,例4、在二项式(x-1)11的展开式中,求二项式系数最大的项的系数。,变式、在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最大的项。,例3、用二项式定理证明：9910-1能被1000整除.,例5、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。,解：依题意，为偶数，且,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,求展开式中系
4、数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,例7、在 的展开式中，系数绝对值最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最大的项，则有,由此确定r的取值,例题点评,-2048,3 在 的展开式中，求：,（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项,4.设 二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式 的常数项为_,108,1、求（0.998）5 精确到0.001的近似值,解：,1、11100 1的末尾连续出现0的个数是-。,解：,所以末尾出现0的个数为3个,展开式中 的系数是_,2 被22除所得的余数为。,1,35,3 已知 展开式中的 系数是56，则实数 的值是_,或,4.设 二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式 的常数项为_,108,
