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1、角平分线的性质,第一课时,实验中学 张九菊,复习提问,1、角平分线的概念,2、点到直线距离的概念。,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,新的折痕与OB 的交点为E.,做一做1,（1）在一张纸上任意画一个角AOB，,A,O,B,沿角的两边剪下，,将这个角对折，使角的两边重合.,(3)过点C折OA边的垂线，,得到新的折痕CD，,(4)将纸打开，,E,其中点D是折痕与OA的交点，,即垂足.,（2）在折痕(即角平分线)上任意取一点C;,角平分线,由前面的做一做,我们大家来猜想一下有什么样的结论成立:,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PE
2、OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.,而OPDOPB的条件由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,老师期望:你能写出规范的证明过程.,分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPB，,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能证明这一结论吗?,已知：如图，OC是的AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明：PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中,PD=PE（全等三角形的对应边相等）,PDO=PEO AOC=BOC OP=OP,PDO PEO（AAS）,A,B,O,D,E,P,C,
3、几何的三种语言,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,角平分线的性质1：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,性质应用所具备的条件：,性质的作用：,证明线段相等。,性质的书写格式：,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,OP是AOB的平分线,PDOA,PEOB,(已知)PD=PE(在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等).,学以致用,例一.已知:如图,在ABC中,AD
4、是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.,角平分线性质,尺规作图,做一做2,已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC.作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作射线OC.,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流.,老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,则射线OC就是AOB的平分线.,1.如图，OC是
5、AOB的平分线，PD=PE,PDOA，PEOB,2.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与DE相等？为什么？若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长。,梦想成真,3.如图,一目标在A区,到公路与铁路的距离相等,且离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).,回味无穷,本节课我学到了:定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).方法:用尺规作角的平分线.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
