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1、微分方程,一基本要求：,1 了解微分方程的基本概念:微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；2 会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程；3 掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；,5 理解二阶线性微分方程解的结构；,6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；,7 掌握自由项为,的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式,基本概念,一阶方程,类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程5.伯努利方程,变量代换,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程及其根对应
2、的通解形式,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,二内容提要,1.基本概念,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程阶,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,微分方程,微分方程的阶,微分方程的解,如果微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,用来确定任意常数的条件.,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,通解,特解,初始条件,初值问题,(1)可分离变量的微分方程,解法,2.一阶微分
3、方程的解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,分离变量法,(3)一阶线性微分方程,方程称为齐次的,方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4)伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,3.可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次,得通解,型,解法,代入原方程,得,型,解法,代入原方程,得,4.线性微分方程解的结构,(1)二阶齐次方程解的结构:,(2)二阶非齐次线性方程的解的结构:,定理3 设y*是(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(
4、1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.,那么,5.二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：n阶常系数齐次线性方程解法,6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法,通解,用待定系数法求特解,设特解的形式,三 问题与思考,问题1.判断正误：,错,正确,正确,正确,答：选择C,问题2,问题3.以,为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为,答：正确.,四典型题目,例1求解下列一阶微分方程：,解,方法1 看作一阶线性微分方程,利用通
5、解公式，得,方法2 看作可分离变量方程,分离变量：,两边积分，得,注 解题前要注意观察分析，选择最简方法,解 原方程化为,代入方程得,将 代回，得所求通解,利用线性变换,可将方程变为可分离变量方程,关于x的一阶线性微分方程,则原方程变为,由通解公式得,代回，得,求解一阶微分方程要特别注意：1 正确识别方程所属类型,以采用相应的 方法2 如果方程不属于典型类型,可以考虑 引入变量代换，或考虑认定x为y的函数，再判定方程的类型,例2,解,代入方程，得,故方程的通解为,例3,解,方程两边求导,两边再求导，得,由原方程和(1)式,得初始条件,求解初值问题,例4 试确定以,解,从而相应的二阶常系数线性齐
6、次微分方程为,为特解的二阶常系数齐次线性方程.,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,设,由,解得,故原方程的通解为,由,即,例6,解,(1)由题设可得：,解此方程组，得,(2)原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,练习题,1.求解下列微分方程：,参考答案,1.(1)可分离变量，,（2）齐次方程或贝努利方程，,，特解,(3)关于x的一阶线性方程，,（4）贝努利方程,（5）变量代换,（6）设,通解为,（7）令,2.解 两边求导,再求导,整理：,分离变量：,，,由,（1）列方程,两边求导，得,（2）初值问题：,（3）解方程，分离变量，解得,所求方程为,3.解 设所求方程为,都是对应齐次方程的解，且他们是线性无关的，,是非齐次方程的一个特解，故非齐次,可得,故所求特解为,故齐次方程通解为,方程的通解为,4.非齐次方程的两个特解之差,
