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1、第十二章,压杆稳定,12-1 压杆稳定性的概念,12-2 细长压杆临界力的欧拉公式,12-3 欧拉公式的适用范围 经验公式 及压杆的稳定条件,目 录,12-1 压杆稳定性的概念,第二章曾研究过图(a)所示的轴向受压杆，其强度条件为,试验表明，该强度条件仅适用于短杆,例如图(b)所示的钢尺，许用应力s=200MPa。则其许用压力为,但试验表明，当F=40N时，钢尺明显变弯，此时已不能再承担更大的压力。由此可见，钢尺的承载能力并不取决于轴向压缩强度，而是与钢尺受压时变弯有关。,压杆产生弯曲变形的原因：,(1)实际的压杆在制造时其轴线不可避免地会存在初曲率。(2)作用在压杆上的外力的合力作用线也不可
2、能毫无偏差地与杆的轴线重合。（3）压杆的材料本身也不可避免地存在不均匀性。这些因素都可能使压杆在外压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形。,为便于说明问题，可将这些因素用外压力的偏心来模拟，即把实际压杆抽象成具有微小偏心距e的偏心受压杆(图c)。,当F较小时，压缩为主要变形，弯曲为次要变形,随着F增加，弯曲变形成为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。,分析压杆承载能力的计算模型,(2)不计压杆的初曲率、压力的偶然偏心、热轧型钢及焊接杆件存在的残余应力等因素，把压杆抽象为理想“中心受压直杆”进行分析。-压屈理论（12-2、12-3）,(1)按压杆的实际情况，即考虑初曲率、压力的偶然
3、偏心、热轧型钢及焊接杆件存在的残余应力等因素，把压杆抽象为“偏心受压直杆”进行分析。-压溃理论（12-4）,理想中心压杆稳定性的概念,当直杆所受的轴向压力小于某一临界值（用Fcr表示）时，它始终能保持直线形态的平衡；若给予一微小的干扰力使之发生微小的弯曲，在撤去干扰力之后，直杆又恢复到原来的直线平衡形态。则压杆在直线形态下的平衡是稳定的平衡。,临界力Fcr 中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值。（或能使压杆保持微弯平衡状态的最小轴向压力）,中心受压直杆在临界力Fcr作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性，简称压杆失稳。,当轴向压力达到该临界值Fcr时
4、，这时它可以在直线形态保持平衡，然而，若再给予一微小的干扰力使之发生微小的弯曲，在撤去干扰力之后，它将处于某一微弯平衡状态，而不能恢复其原有的直线平衡形态。则此时压杆其原有的直线形态下的平衡是不稳定的平衡。,失稳的特点：,1.失稳发生在强度破坏之前,2.事先无预兆，瞬间迅速失稳；,3.特殊的受力形式才能失稳。例如拉杆就不存在失稳问题。,某施工工地脚手架,1983年10月4日，地处北京的中国社会科学院科研楼工地的钢管脚手架在距离地面5m6m处突然外弓，刹那间，这座高达54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架轰然坍塌，5人死亡、7人受伤。,横杆之间的距离太大 2.2m规定值1.7m
5、;,地面未夯实，局部杆受力大；,与墙体连接点太少；,安全因数太低：1.11-1.75规定值3.0。,2000年10月25日南京电视台演播中心工地事故造成5人死亡,新华网南京10月25日电（记者王家言）今天上午10时30分，位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌，部分施工人员被压。据统计，这次事故已造成5人死亡，另有35人受伤被送往医院抢救和治疗。,2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责任公司刚刚竣工的68米高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民工全部翻下坠落，造成21
6、人死亡，9人受伤。,12-2 细长压杆临界力的欧拉公式,一 两端铰支细长压杆的临界力,设材料在线弹性范围内工作，就可以应用挠曲线的近似微分方程,由于杆的两端可在任何方向自由转动，所以当它失稳时必定在弯曲刚度最小的纵向平面内发生弯曲，亦即绕惯性矩为最小的形心主轴(通常称为弱轴)而弯曲。,设两端为球形铰支座的细长压杆在轴向压力作用下处于微弯平衡状态，只要求出该挠曲线方程成立时的最小轴向压力，即为临界力。,其中：,式中的轴向压力F取为正值。这样，挠度w和弯矩M(x)的符号就相一致。,引入记号,则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程,此微分方程的通解为,两端铰支压杆的位移边界条件,x0处，w0,xl处，
7、w0,B0,式中，A和B为积分常数,如果A0，则压杆各横截面的挠度均为零，这不是我们所研究的情况。欲使压杆处于微弯平衡状态，必须有,将k值代回,得,显然，能使压杆保持微弯平衡状态的最小轴向压力是在上式中取n1，于是得到两端铰支细长压杆的临界力为,该式又称为两端铰支压杆的临界力的欧拉公式。其中Iz是横截面的最小形心主惯性矩。,n=1时，k/l，,则压杆在临界力作用下挠曲线方程为,(半波正弦曲线),最大挠度在杆的中点，用d表示，,则 A=d,压杆在临界力作用下挠曲线方程为,讨论：,(1)跨中挠度d为任意微小值，即d存在不确定性。,d 之所以存在不确定性，是因在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。
8、若采用挠曲线的精确微分方程，则当FFcr时，压杆在微弯平衡形态下，压力F与挠度d 间存在一一对应的关系。,(2)若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则压杆失稳时截面一定绕惯性矩为最小的形心主轴(通常称为弱轴)而弯曲,过圆心的任一轴,C,二 其它杆端约束情况下细长压杆的临界力,（1）一端固定、另端自由的细长压杆的临界力（书例12-1）,设该压杆在轴向压力作用下处于微弯平衡状态，则任意x横截面上的弯矩为,代入挠曲线近似微分方程,引入记号,得,该微分方程的通解为,位移边界条件：,x0处，w0,x0处，w0,可见，欲使挠曲线方程成立，必须有,取n=1，得压杆能保持微弯平衡状态的最小轴向压力，
9、即临界力,此时挠曲线方程为,设想将挠曲线对称延长一倍，它与长为2l的两端铰支压杆的挠曲线形状相同。若将公式(12-1)中的l换成2l，便可得上述的临界力。,（2）两端固定的细长压杆的临界力（书例12-2）,（3）一端固定、另端铰支的细长压杆的临界力（书例12-3）,（4）一端固定、另端可移动但不能转动的细长压杆的临界力（书例12-4）,归纳：不同杆端约束的细长压杆，其临界力的欧拉公式统一形式,式中：,书表12-1 要记住,课堂练习：,1.（书习题12-1）两端为球形铰支的细长压杆，采用如图所示四种截面，问压杆失稳时绕哪一轴弯曲？,过圆心的任一轴,2.（书习题12-2）图示各杆的材料与截面分别相
10、同，且都属细长压杆。问哪个能承受的轴向压力最大？哪个最小？,(a),(b),(c),(d),(e),(f),轴向压力最大为(d)、(f),轴向压力最小为(b),3.图示压杆的下端固定，上端为弹簧支承，其长度因数的范围为（）,4.图示压杆的上端自由，下端为弹性支承，其长度因数的范围为（）,5.图示各中心受压直杆的材料、长度及弯曲刚度均相同，其中临界力最大的为（），最小的为（）。,(A),(B),(C),(D),临界力相互关系：,补充作业题：,图示细长压杆两端为球形铰支座，已知材料为Q235钢，E=206GPa。试分别计算图示三种截面杆的临界荷载。,14号工字钢,12-3 欧拉公式的适用范围.经验
11、公式及压杆的稳定条件,一 欧拉公式的适用范围,压杆失稳时横截面上的平均压应力称为压杆的临界应力，用scr表示。则压杆的临界应力公式为,将形心主惯性矩写成,则,引入记号,式中，l是一个无量纲的量，称为柔度或长细比。,它综合反映了压杆的长度、横截面尺寸和形状、杆端约束等因素对临界应力的影响。,(欧拉公式),欧拉公式是利用挠曲线的近似微分方程导得的，而该微分方程只有当材料在线弹性范围内工作时才能成立，所以只有当临界应力scr不超过材料的比例极限sp时，才可用欧拉公式计算压杆的临界力。,于是欧拉公式的适用范围为,可见，只有压杆的柔度l大于或等于柔度的界限值lp时，才能应用欧拉公式。前面所称的细长压杆，
12、指的就是其柔度l不小于lP的压杆。这类压杆的稳定问题自然属于线弹性稳定问题。,以Q235为例，E206GPa，sP200MPa，由上式可得,故用Q235钢制成的压杆，只有当其柔度l100时，才能用欧拉公式计算其临界力。,或写成,二 临界应力的经验公式,当llP时，压杆横截面上的应力已超过比例极限sP，这类压杆的稳定问题属于非弹性稳定问题。工程中多采用以实验为基础的经验公式，这里仅介绍直线公式。其公式为,式中，a与b是和材料的力学性能有关的常数。书中表12-2中列出了一些材料的a和b值。,例如Q235，a=304MPa，b=1.12MPa，ss235MPa。,临界应力总图,综上所述，压杆按其柔度
13、值分为三类：,短杆,中长杆,细长杆,三 压杆稳定条件,为了使压杆在轴向压力F作用下不至于失稳，必须满足下述条件,式中，Fcr为临界力；nst为稳定安全因数，其值可以从相关手册中查到；Fst为稳定许用压力。上式称为压杆的稳定条件。,例12-5 两端为球形铰支的圆截面压杆,l=2m,d=60mm，材料为Q235钢，E206GPa。试求该压杆的临界力；若在面积不变的条件下，改用D1=68mm，d1=32mm的空心圆截面，问此时压杆的临界力又等于多少？,d,解：(1)求实心圆截面压杆的临界力,首先计算压杆的柔度,属于细长压杆，故可用欧拉公式计算临界应力,于是压杆临界力为,(2)求空心圆截面压杆的临界力
14、,(属于细长压杆),它要比同样面积的实心圆截面压杆的临界力大得多。,例12-6 图示压杆由两根110mm70mm7mm的不等边角钢铆接而成，长度l=6m，材料为Q235钢，E=206GPa。试求：（1）该压杆的临界力；（2）欲使该压杆临界力为最大时，两角钢间的最小间距，并求此时的临界力。,解:(1)求该压杆的临界力,查表：单根角钢截面几何性质,计算组合截面的Iy、Iz,判断：,按y轴计算临界力,属于细长压杆，可用欧拉公式,故,（2）欲使该压杆临界力为最大时，求两角钢间的最小间距，并求此时的临界力。,当Iy=Iz时的间距即为压杆取得最大临界力的最小间距。,令,例12-7 两端为球形铰支的压杆，系
15、由两根75mm75mm8mm的等边角钢铆接而成，长度l=2m，材料为Q235钢，E=206GPa。稳定安全因数nst=2.5。试求该压杆的许用轴向压力F之值。,解：首先判断弱轴：,（单个角钢对y轴的惯性半径）,查表：,则组合压杆的柔度为,属于中长杆，用经验公式计算临界应力,故压杆的许用压力为,例12-8(书例12-6)图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长l=2m，材料为Q235钢，E=206GPa。两端用柱形铰与其他构件相连接，在正视图的平面(xy平面)内两端视为铰支；在府视图的平面(xz平面)内两端为弹性固定，长度因数y=0.8。压杆两端受轴向压力F=100kN，稳定安全因数n
16、st=2.5。校核该压杆的稳定性；又问b与h的比值等于多少才是合理的。,若压杆在xy平面内失稳，则两端为铰支，长度因数z=1。此时横截面的形心主轴z为中性轴，惯性半径,解:(1)校核压杆的稳定性,由于压杆在两个形心主惯性平面内失稳时的杆端约束不同，故应分别计算压杆在这两个平面内的柔度。,压杆在该平面内的柔度,若压杆在 xz平面内失稳，则两端为弹性固定，长度因数y=0.8。此时横截面的形心主轴y为中性轴，惯性半径,压杆在此平面内的柔度,由于lylz，故应当以ly来计算临界应力。因为压杆总是在柔度较大的平面内失稳；又因lylp，故可欧拉公式计算临界应力,压杆的临界力为,压杆的许用压力为,可见,所以
17、压杆满足稳定性要求。,(2)求b与h的合理比值,b与h的合理比值，应满足压杆在两个形心主惯性平面内的柔度相等的条件。这样，压杆在这两个平面内就具有相同的稳定性。,令,由此得到,讨论：提高压杆临界力的主要措施,合理的截面形状,（1）当y=z，压杆将绕Imin轴弯曲，故在面积A不变时，尽量面积分布远离形心主轴，使I提高，且使Iy=Iz,（2）当yz，压杆失稳时将绕大的轴弯曲，故宜采用IyIz的截面，并且使y=z,压杆长度l越大，Fcr越小，故在可能条件下尽量减小l,BD杆的内力为零，它却使AC杆的长度减小一半，从而提高了上弦杆抵抗失稳的能力。,增强约束，减小值，以提高压杆临界力,合理选择压杆的材料
18、,(1)细长压杆：对于钢材，由于各类钢材的E值大致相同，故采用高强度钢一般不会提高临界力。,(2)中长压杆：scr与材料的比例极限sp以及压缩极限应力scu有关，所以选用高强度钢可以提高临界力。,12-4 钢压杆的极限承载力,一 压溃理论的概念,以理想中心受压直杆为力学模型而建立的稳定理论,压屈理论,实际压杆：,存在初曲率、压力的偶然偏心以及截面上残余应力等因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型。,极值点,失稳极限荷载,（压溃荷载）,稳定平衡,不稳定平衡,这类失稳问题称为极值点失稳,研究这类失稳问题的理论称为压溃理论,二 钢压杆的稳定计算,建立在压溃理论基础上的钢压杆的稳定计算，现行钢结构设
19、计规范对轴心受压杆规定的稳定条件为,式中：,引用记号,式中：,这样，轴心受压钢杆的稳定条件可以最后写成,例12-9(书例12-8)一两端铰支的轴心受压杆，截面为焊接H形，具有轧制边翼缘，截面尺寸如图所示，材料为Q235钢。压杆长为l=4.2m，在压杆的强轴平面内有支撑系统以阻止压杆中点在xz平面内的侧向位移。该压杆承受的压力F=950kN，试校核其稳定性。,解：(1)截面几何性质的计算,计算毛截面面积和形心主惯性矩,横截面对z、y轴的惯性半径分别为,(2)压杆柔度的计算,(3)校核稳定性,从表12-3可知，该压杆绕强轴（z轴）失稳时属于b类截面，由表12-5并用线性插入得,该压杆绕弱轴（y轴）
20、失稳时属于c类截面，由表12-6得,于是有,计算压杆的工作应力并按（12-10）式校核其稳定性,可见该压杆满足稳定性要求,工程中其它的一些失稳形式,工程中其它的一些失稳形式,工程中其它的一些失稳形式,工程中其它的一些失稳形式,工程中其它的一些失稳形式,AB杆,F=10kN,AB杆外径D50mm，内径d40mm，材料为Q235钢，E206GPa，nst=3。校核AB杆的稳定性。,练习,AB为大柔度杆,AB杆满足稳定性要求,练习：已知压杆为14a号槽钢组合截面，材料为Q235钢。已知sd=200MPa。求（1）两槽钢间的合理间距；（2）许用压力F,解：（1）求合理间距,合理条件：,单根槽钢截面几何性质,（2）求F,单根槽钢截面几何性质,查表12-3，绕y、z均属b类截面，由表12-5得,由稳定条件：,故,思考题 图示结构，1、2两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 F 为最大值时的角（设0qp/2）。,
