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1、精品论文加权Herz空间上的分数次积分交换子胡越1，王艳烩1，王月山21 河南理工大学数学与信息科学学院，焦作4540032 焦作大学基础科学系，焦作454003摘要：研究了分数次积分算子Il 与加权Lipschitz函数b生成的交换子b, Il 在加权Herz空间上的- 8 -2有界性质. 证明了当b Lip (), 0 l + n2 , 1/q= 1/q1 (l + )/n 及(l + )/ n/q1(, ) 到K q,p n/q + n时，b, I 是从K q1 l1,p2(, 1(1l/n)q2)的有界算子.关键词：分数次积分，交换子，加权Lipschitz函数，加权Herz空间中图分
2、类号： O174.2The commutators of Fractional Integrals onWeighted Herz SpacesHU Yue 1, WANG Yanhui 1, WANG Yueshan 21 College of Mathematics and Informatics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 4540032 Department of Basic Science, Jiaozuo University, Jiaozuo 454003Abstract: Let b, I denote the commutat
3、or generated by fractional integral I and weightedLipschitz function. In this note, the boundeness of b, I on weighted Herz spaces is2investigated. It is proved that, if b Lip (), 0 l + n2 , 1/q= 1/q1 (l + )/n and (l+1,p(, ) to K q)/ n/q1 n/q1 + n, then b, Il is bounded from K q,p2(, 1(1l/n)q2 ).Key
4、 words: fractional integral; commutator; weighted Lipschitz function; weighted Herzspace0 引言设0 l n, 分数次积分算子Il 定义为Il f (x) =f (y)Rn |x y|nldy.考 虑 由Il 与 局 部 可 积 函 数b 生成 的 交 换 子 b, Il f (x) = b(x)Il f (x) Il (bf )(x). 当1/q =1/p l/n, 1 p n/l 时，Chanillo 在1中证明了b, Il 是Lp (Rn ) 到Lq (Rn ) 有界的充分必要条件是b BM O(Rn
5、 ). 当b BM O(Rn )且l n/q 0,记kB为中心在x0 ,半径为kr的球.定义1.1 称定义在Rn 上的局部可积函数属于Muckenhoupt A1 权，如果对任意的球B Rn 有1|B|(x)dx C inf (x).BxB若 A1 ,则对球B的任意可测子集E,存在常数C1 , C2 0和0 1,使得E|C1 |(E)( |E| )|B| (B) C2|B|定义1.26 设1 q , 称一个局部可积函数属于A1,q 权，对任意的球B Rn 有( 1|B|(x)q dxB)1/q. C inf (x).xB显然，若属于A1,q ,则q A1 . 由Holder不等式可知A1,q
6、A1 .定义1.3 设为一个权函数，1 p ,一个局部可积函数函数b(x)属于加权Lipschitz空间，记为b Lip,p (),如果supB1(B)/n(1(B)|b(x) bB |p (x)1p dxB)1/p C .B这里bB = |B|1 b(x)dx,上确界取遍所有的B Rn . 上式中C 的最小下界称为b的Lip,p ()范数, 记为bLip,p () .,p当 = 0时,Lip()即为加权BM O空间；当 = 1时，Lip,p()即为通常的Lipschitz空间.由7,如果 A1 ,则对任意的1 p q 有Lip,p () = Lip,q (),并且其范数等价. 由 于在下文中
7、所涉及的权函数均属于A1，为方便起见，我们总记Lip,p ()为Lip (), 其范数记为 Lip () .设k Z ，记Bk = B(0, 2k ), Ck = Bk Bk1 , k= Ck .定义1.48 设 R, 0 p, q , 1 , 2 为权函数，齐次加权Herz空间定义为K ,plocq (1 , 2 ) =其中f Lq (Rnq (1 ,2 )0, 2 ) : f K ,p ,f K ,pq (1 ,2 ) =j=1 (Bj )p/nf CjpLq (2 )1/p.显然，我们的主要结果如下：f K 0,qq (1 ,2 )= f Lq (2 ) .定 理1.1 设0 l n2
8、, A1,q 以 及b Lip (). 若0 p , 1 q , q21, 1/q2 = 1/q1 (l + )/n,则当(l + )/ n/q1 1,存在常数C ,使得B证明对任意的x B, 我们有(x)1q dx C rnq (B)1q .所以对q 1(x)1 (inf (x)xB)1C |B| ,(B)(x)1q dx CB( (B) )1q|B|B| C rnq (B)1q .j b k | C b2引理2.2 若 A1，b Lip (), j k，则证明对i k,|bBB Lip () jk(n+)in (Bk )1+/n .|bBi+1 bBi | 2Bi+1|b(y) Bbi+1
9、 |dy(Bi+1 )1+/n C bLip () C bLip () 2|Bi+1 |kn (Bk )(Bi )/nkn C bLip () 2所以2(ik)(Bk )1+/n .j b k | C b2|bBB Lip () jk(n+)(Bk )1+/n .引理2.3 设 A1,q2 , b Lip ().若1/q2 = 1/q1 (l + )/n,则(2jlq2j|b(x) bB |q2 (x)1(1l/n)q2 dxBj)1/q2 C bLip () (Bj )1/q1 .证明取t = (1 1/q2 )n/l, 则1 + q2 tl/n = q2 且1/t + q2 l/n = q
10、2 /t. 由于1/q2 = 1/q1 (l +)/n, 所以t 1. 记t为t的对偶，即1/t + 1/t = 1. 由Holder不等式以及q2 A1 ,2jlq2|b(x) bB |q2 (x)1(1l/n)q2 dxBjj()1/t ()1/t 2jlq2|b(x) bB |q2 t (x)1q2 t dxjBj(x)1+q2 tl/n dxBjq2jlq2(1/t +q2 /n)1/t q2 C bLip () 2(Bj )(x) dxBj()1/t+lq2 /nq2 C bLip () |Bj |1/t+lq2 /n(Bj )1/t +q2 /ninfxBj(x)q2 C bLip
11、 () (Bj )1+lq2 /n+q2 /nq2= C b(B )Lip () jq2 /q1 .x B最后一个不等式用到了事实:若 A1 ,则(Bj ) |Bj | inf j(x).引 理2.43 设1/q = 1/p (l + )/n, 1 p /n. 利用Holder不等式以及引理2.1,M2 C 2j(nl)Bk(|b(y) bbk |f k (y)|dyBj(y)1(1l/n)q2 dy1/q)1/q2( C f k Lq1 ()Bkq|b(y) bBk | 1 (y)1 dy1q1(Bj )1/q1 /n1 C bLip () f k Lq1 ()( (Bj ) )(Bk )1
12、/q1 /n1 C bLip () 2(jk)(n/q1 n) (jk)(n/q1 n)f k Lq1 ()这样我们就有 C bLip () 2 f k Lq1 () . b, Il (f k )j (x) Lq2 (1(1l/n)q2 ) C bLip () 2(kj)(kj)2(jk)(+n/q1 n)f k Lq1 ()当0 1时，由Holder不等式,L1 C bpLip ()j=( j2k=( j2(Bk )/nW (j, k)f k Lq1 ()pL 1 () ( j2)p/pp C bLip ()j=pk=(Bk )p/nW (j, k)f k p qk=W (j, k)p C
13、bLip ()pk=p(Bk )p/nf k Lq1 ()j=k+2W (j, k)q (,) C bLip () f K ,p.1最后估计L3 . 由于k j + 2, 所以M1 C 2k(nl) f k L1 (Bjj|b(x) bB |q2 1(1l/n)q2 dx)1/q2+ |bBj bBk |(Bj1(1l/n)q2 dx)1/q2 )1/ql C bLip () (2(kj)l+ 2(kj)(l+) )f k Lq1 ()( (Bj ) )(Bk )同样， C bLip () 2(kj)(l+n/q1 )f k Lq1 () .()1/q2M2 C 2k(nl)|b(y) bBk
14、 |f k (y)|dyBk(x)1(1l/n)q2 dxBj这样我们得到 C bLip () 2(kj)(l+n/q1 )f k Lq1 () . b, Il (f k )j (x) Lq2 (1(1l/n)q2 ) C bLip () 2(kj)= C bLip () 2(kj)2(kj)(l+n/ql )V (k, j)f k Lql () .f k Lql ()由于 (l + )/ n/q1 , 类似于L1 的估计,当0 p 时我们有p pq1 (,)L3 C bLip () f K ,p.综合L1 , L2 , L3 的估计，我们证明了定理1.1.参考文献（References）1
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