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1、第十章 再保险的数理分析,2、大数的确定 大数法则应用于保险，最重要的要求就是：在有足够多的风险单位时，保险公司所经营的该类业务的实际损失结果与预期损失结果（数学期望）的误差很小。保险公司根据大数法则的要求，尽可能多地承保业务，为的是使损失的不确定性（个别发生）向确定性（总体）的数量关系转化。而确定性的大小，决定了上述误差的大小。即确定性的大小，决定了上述误差的大小。,那么，危险单位要多大才能满足确定性的要求呢？或者说如何确定“大数”呢？这里，首先需要了解“确定性”的涵义。确定性是用下述两个概念来衡量的：一个是损失变动次数与危险单位总体的比例，另一个是该比率的置信度。举例：,假定有100个风险
2、单位（比如100位90岁的人），每个危险单位发生损失的概率（该人群的死亡率）是P=0.3。该随机事件服从二项分布。其损失的期望次数（人数）是30次（人）。根据某一样本，知道发生损失（死亡）的范围是309，即21-39之间，其可能性（置性度）为95%。在这种情况下，损失变动次数与危险单位总体个数的比率就是9%，也就是损失范围与损失次数（期望）的绝对误差是9。这个结果是不能令人满意的。我们厘定费率的根据是30%，尽管置性度是95%，但稳定性很差。,假定根据另一样本10 000个危险单位，绝对误差是200，损失变动次数与危险单位总体的比率是2%，其置信度也有95%。相比起来，这后者的确定性就比较好，
3、因为实际损失与期望之间的误差很小，且置信度很高。这种较大的确定性是由于样本较大，危险单位增多的结果。了解了这些概念，我们来看如何测定“大数”。,一般说来，“大数”由下式计算：N=N：在一定条件下，应有的风险单位数 E:实际损失变动次数与危险单位总数的比率 S:实际损失变动次数与期望损失次数的标准差个数 P：特定风险单位发生损失的概率,在上例中：概率P=0.3，现在要测定被保险团体中必须有多少个危险单位，才能使100个单位中发生损失的次数在28-32次区间内的置信度为95%。因为是95%的置信度，那就要在两个标准差之内，所以，E=2%（危险单位总数是100），代入公式,N=2100,该结果表明，
4、要达到使被保险团体中每100个危险单位的损失次数在28-32之内的置信度为95%，就需要样本容量是2100。保险公司通过对大数法则的测定，可以了解承保业务的稳定性状况，进而制定合理的经营方针，以保证财务的稳定性。例如如果确知所需承保的危险单位难以通过直接保险达到时，就要通过安排再保险来保证财务的稳定性。,二、大数与保险财政稳定性 所谓保险财政稳定性，就是实际发生的保险赔款不超过预计的保险赔偿基金，超过的幅度及可能性越大，保险的财政稳定性就越差，反之亦然。这里所说的保险赔偿基金，就是保险基金。在实际经营中，往往把该项业务的纯保险费总额作为保险赔偿基金。,（一）赔偿金额标准与保险赔偿基金 假定某公
5、司承保的某项业务有n个保险单位，每个保险单位的保险金额为 元，纯费率为q。如果损失期望值为，损失标准差为，则 称为赔偿金额标准差，用Q表示，即,把（即纯保费总额）称为保险赔偿基金，用P表示，即 例如，某公司承保n个相互独立的标的，每个标的的保险金额均为a元，损失概率为p，则标的的损失服从二项分布，损失期望值为 标准差为,故赔偿金额标准差为：当a=3000元，n=1000元，p=3时，可求得Q=5188.35元。,（二）财政稳定系数(风险系数)赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财政稳定系数，用K表示，即,关于用K值检验财政稳定性，有人划定了一个界限：当K0.1时，认为财政稳定性良好，无需分
6、保，而当K0.1时，认为财政稳定性较差。我们认为，当K0.1时，是绝对没有必要分保的，当K0.1时，是否要分保，分出多少，自留多少，需根据具体情况作具体分析。假定有n个风险单位，每个风险单位的保险金额为a元，损失概率为p，纯费率为q，若损失服从二项分布，则有：,由这个公式可知：在一定的损失概率条件下，要降低K值有两种办法，一是提高保险费率q，但这种做法往往是有限度的，二是扩大承保危险单位数，这正好是与大数法则要求相符的。,例1：某公司承保某项业务640个风险单位，每个风险单位发生损失的概率为3，若纯费率为3，则K为多少？要承保多少标的才能使K0.1？，若承保风险单位数不变，要将纯费率调整为多少
7、才能使K0.1？由上面公式可得：,要使K=0.1，则有如若n不变，而调整q，则由前面的公式得：,从这一例子可以看出，在财政稳定性很差的情况下，靠单纯扩大承保量及调整费率是很难改善财政稳定性的。如把承保量由640个单位一下子扩大到33 233个单位，难度可想而知；而在损失概率仅为3时，纯费率为22又极不合理。这说明，在财政稳定性很差时，必须依靠再保险来稳定业务经营。,（三）不同保险金额业务的财政稳定性分析 前面的讨论，各个风险单位的保险金额相同，问题比较简单，但实际中，各个风险单位的保险金额并不全部一样。在此情况下，赔偿金额标准差要发生变化，财政稳定系数也要发生变化。为分析问题的方便，在下面的讨
8、论中一律假定在同类业务中损失概率等于纯费率。,假定保险公司承保有两类业务，第一类业务承保n1个风险单位，每个单位的保额为a1元，纯费率为q1，第二类业务承保有n2个单位，每个单位的保额为a2元，纯费率为q2。则第一类业务上的平均出险次数为其出险次数标准差为：赔偿金额标准差为：,同样可得到：,如果把第一类业务与第二类业务合并，则赔偿金额标准差为：因为财政稳定系数为：,其中，一般地，当有j个业务合并时，有：其中,第二节 自留额与分保额决策的数理依据 保险公司常常面临这种情况，现有业务财政稳定性良好，但为发展业务，必然在承保新的业务，那么，新业务的最高保额为多少时，才不致使原有的K值增大呢？假定原有
9、业务上，赔偿基金为P1，赔偿金额标准差为，则,则 现将另外接受n个风险单位，保额为x元，纯费率为q，则,合并业务后，,要使 仍维持 的值，则应有整理后可得：,当q十分小时，可近似得到 由上述分析可知，要维持原有的财政稳定性，对于接受的新业务，如果保险金额在 x 以下，则可全部自留，对于保险金额超过 x 的新业务，自留额以为限，超过部分予以分保。,下面，我们举例来讨论自留额的确定。假定某公司承保有四类业务，具体如下表所示，纯费率为2。,利用公式 可以求得：,在以上各类业务中，第一类和第二类业务合并的结果K值最小。如果公司拟将全部业务的K值降至0.275即与 相等，则需分保。即然0.275为第一、
10、第二两类业务合并结果的K的数值，我们在计算并不影响K的最高保额时，自应以这两类业务为基础。第一步，用公式（13.11）初步估计保额：,这一最高保额大于第二类业务的保额，但小于第三、第四类业务的保额，故对共有400个单位的第三、第四类业务，在公司保留一个自留额后，均须分保。第二步，用公式计算准确自留额。本例将有关数字代入公式后可得x=8100元。即公司的最高自留额为8100元。下面，我们来验证这一答案的正确性。,=40081002%=6480（元）全部自留额上的K值为：,下面我们再来分析，如果公司拟将全部业务维持在0.514上，应如何策划分保。第一步，初步计算最高保额：按照这一保额，保险公司不仅要将第四类业务安排分保，对第三类业务也有分保的必要,公司对第一、第二类业务虽可全部自留，但因对第三类业务仅能部分自留，原定的在我们的计算中不再适用。故我们在第二步更精密地计算最高保额时，就只能退回来仅以第一第二类业务的保费及赔偿金额标准差为基础。同时必须注意，0.275是由第一第二两类业务的保额及承保量决定的，因为 是一个常数，不能任意改变。,现在假定最高自留额为 x 元，我们将第二步的计算法列表如下：,全部业务自留额上的稳定系数为：令K0.514，可得x48 900元。你们可自己验证这一答案的正确性。,
