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1、几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节曲面及其方程,即,动点为 定点为，,由两点间距离公式得,特别,当M在原点时,球面方程为,定值为 R,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、几种常见的曲面及其方程1.球面,例1 方程,表示怎样的曲面.,解 通过配方，把原方程写成,对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为,的球面.,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意z,平行z轴的直线l,表
2、示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线
3、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.一条平面曲线,3.旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 将,面上的椭圆,分别绕,轴和,轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。,解 绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为,即,即,绕 轴旋转而成
4、的旋转曲面方程为,例3 求,面上的抛物线,绕x轴,旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。,解 方程,中的x,不变，,换成,便得到旋转抛物线的方程为,例4 求,面上的直线,绕z轴,旋转一周而成的圆锥面的方程。,解 所求圆锥面的方程为,即,二、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束,黄,绿,红,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.椭圆抛物面,(p,q 同号),特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、曲线1.曲线方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t
6、的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 设一动点M,在圆柱面,上以角速度,绕z,轴旋转，同时又以线速度,沿平行于z,轴的正方,向上升(都是常数),则点M的几何轨迹叫做螺旋线,（图7-34），试图建立其参数方程。,解 取时间t,为参数，设t=0,时动点在,处，,动点在点,处，过点M,作xoy,面的垂线，则,垂足的坐标为,由于,是动点在时间t,内转过的角度，而线段,的长,是时间t内动,点上升的高度，所以经过时间t，得,从而,因此螺旋线的参数方程为,2.空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 求曲线,关于,面的投影柱面及投影的方程。,解 将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得,曲线 关于 面的投影柱面的方程为,（是圆柱面），在 面的投影方程为,（是 面上的圆）,
