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1、第二十一章 原子的量子理论,211 原子光谱的规律性 212 玻尔的氢原子理论213 德布罗意假设及其实验证明214 不确定关系215 粒子的波函数 薛定谔方程216 一维无限深的势阱,4、了解波函数及其统计解释、不确定关系，了解一维定态薛定谔方程。,3、理解描述物质波动性、粒子性的物理量之间的关系。,2、了解德布罗意的物质波假设及电子衍射实验，理解光和实物粒子的波粒二象性。,1、理解氢原子光谱的实验规律及玻尔氢原子理论,了解此理论的意义及其局限性。,教学要求：,原子的核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子的核模型正确则经典电磁理论不能解释：（1）原子的不稳定性；（2）原子光谱的分离（裂）性（即
2、不连续性）。实验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，必须建立适用于原子内部微观过程的理论。,1911年卢瑟福在散射实验的基础上提出了原子的核模型，根据原子的核模型，可以很好地解释大角散射。,研究原子结构规律有两条途径：,1、利用高能粒子轰击原子轰出未知粒子来研究(高能物理)；,2、通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光谱分析。,光谱可分为：,1、发射光谱：,1)连续光谱：炽热固体、液体、黑体；,2)线状光谱(原子)：彼此分离亮线,气体放电、火花电弧等。,211 原子光谱的规律性,两者都能反映物质特性及其内部组成结构_特征谱线最简单的原子发射光谱是氢原子光谱。,2、吸收光谱：连续谱通过物
3、质，有些谱线被吸收形成的暗线。,氢原子的光谱系,1885年巴尔末(瑞士一中学教师)发现了氢原子光谱在可见光部分的规律，即,2、赖曼系（紫外光部分）,3、红外光部分：,4、氢原子光谱规律：,nf=1、2、3、4和5分别对应赖曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系和普芳德系。,太阳光谱,1、玻尔的氢原子理论是建立在以下三条假设基础上：,1)定态假设：原子系统只能具有一系列的不连续能量状态。,2)角动量假设量子化条件,3)跃迁假设：在两个能级间跃迁时吸收或发射光子,1913年，玻尔从原子核模型和原子的稳定性出发，应用普朗克的量子概念，提出了关于氢原子内部运动理论，成功解释了氢原子光谱的规律性。,212 玻
4、尔的氢原子理论,2、氢原子能级公式,认为：氢核质量无穷大,近似静止(相对电子),1 半径量子化：库仑力提供向心力,2能量量子化,电离：,3、原子辐射,与实验吻合得极好,根据玻尔的跃迁假设：,（1）不能解释多电子原子光谱、强度、宽度和偏振性等；,（2）不能说明原子是如何结合成分子，构成液体、固体的。,（3）逻辑上有错误：以经典理论为基础,又生硬地加上与经典理论不相容的量子化假设,很不协调-半经典半量子理论。,4、玻尔氢原子理论的困难,满意解释了H、类H 原子线谱，得到了，但仍存在缺陷：,玻尔原子理论的意义在于：,1)揭示了微观体系具有量子化特征（规律），是原子物理发展史上一个重要的里程碑，对量子
5、力学的建立起了巨大推进作用。,2)提出“定态”，“能级”，“量子跃迁”等概念，在量子力学中仍很重要，具有极其深远的影响。,一、德布罗意波假设物质波概念,2、1924年，德布罗意用类比手法，提出实物粒子亦具有波粒二象性的假设：每一个运动的粒子都有一个波与之联系，这波的波长和粒子的质量m及其速度v之间有一简单关系：,1、光的波粒二象性：,21-3 德布罗意假设及其实验证明,物质波：与实物粒子相联系的波。,德布罗意关系式,说明能量为E、动量为p 的粒子,从波动性看来应具有和。,3、玻尔氢原子理论量子化条件的导出：,(1)定态：只有当电子在核外绕行的圆轨道周长为电子波长的整数倍，即只有当电子波环绕着原
6、子核形成驻波的情况下，原子才具有稳定状态。,(2)角动量 L,例 计算电子经过U1=100V 和U2=10000V 的电压加速后的得布罗意波长1和2分别是多少？,解：经过电压 U 加速后，电子的动能为：,将已知数据代入计算可得：1=1.225（埃）,2=0.1225（埃）,二、德布罗意假设的实验证明,1、戴维森革末实验,电子束加速后投射到单晶上。保持掠入角不变，改变加速电压，发现接收到的电子（电流）有一系列的极大值。,若电子有波动性,应满足布拉格公式:,若d一定，k不同，只有 取不连续的值才可以满足极值条件。,2、汤姆孙电子衍射实验,实验得到电子的衍射图样类似于X 射线。证明电子确有波动性,后
7、来又证明其他实物粒子(原子、中子)亦有波动性。,物质波是什么？,三、德布罗意波的统计解释：,1、双缝衍射：,2、电子衍射：电子分布稀疏与密集说明电子到达各处的 数量不同。,统计解释：物质波振幅A的平方，与粒子在该处附近出现的概率P 成正比。,1926年玻恩提出：物质波是“概率波”。,一、不确定关系,由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不相同的性质，按照经典物理，每一时刻质点占有一定位置，并具有一定动量，位置和动量可以同时准确测量。而微观粒子的波动性对确定粒子的坐标和动量带来了某种限制。,设一平行电子束垂直射在单缝上，如图，大多数电子通过狭缝后继续沿原方向运动但有些电子改变了方
8、向，即其动量改变了。,21-4 不确定关系,首先考虑第一级电子衍射，电子动量在X分量 px 在下列范围内：,故px 的不确定量为：,根据单缝衍射公式 dsin，得,电子通过狭缝时，通过狭缝哪一点是不确定的，所以有,电子坐标不确定量：D x=d,说明：不确定关系并非由于实验技术、误差造成，是波粒二象性的必然结果。,如果考虑次级，则：,同理，对三维空间有：,例 不确定关系式x pxh表示在x方向上,（A）粒子位置不能准确确定。,（B）粒子动量不能准确确定。,（C）粒子位置和动量都不能准确确定。,（D）粒子位置和动量不能同时准确确定。,例 不确定关系式x pxh，有以下几种理解：,（1）粒子的动量不
9、可能确定。,（2）粒子的坐标不可能确定。,（3）粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。,（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。,其中正确的是：,（A）（1），（2）（B）（2），（4）（C）（3），（4）（D）（4），（1）,例题21-1 设电子在原子中运动的速度为106m/s，原子半径约为10-10m，电子位置的不确定量至少为10-11m，即x=10-11m，由不确定关系得：,速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度上，电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。,例题21-2 质量为1g 的物体，当测量其重心位置时，不确定量不超过10-6m，即x=10-6m，由不
10、确定关系可得：,速度的不确定量，远小于可能达到的测量精度，用经典力学来处理宏观物体的运动是足够精确的。,与具有恒定速度的粒子（自由粒子）相联系的物质波是平面波，波的传播方向沿粒子的运动方向。,沿x方向传播的平面机械波波函数为：,a为平面波的振幅，为初相。可写成复数形式，只取实数部分：,其中,21-5 波函数 薛定谔方程,问题：如何寻找将粒子性与波动性联系起来的波函数？,假定这是与能量为E、动量为P 的自由粒子相联系的平面波，上式中的波长和频率（表示波动的物理量），可用表示粒子性的量E 和P 来表示。,由德布罗意公式：,平面波方程可化为：,这是与能量E、动量P、沿x方向运动的自由粒子相联系的波，
11、称为自由粒子的德布罗意波，为自由粒子的波函数，A是波函数的振幅。,自由粒子的能量E、动量P常数，德布罗意波是平面波。非自由粒子的能量E、动量P不是常数，此时德布罗意波是非平面波，怎样确定那么非自由粒子的德布罗意波？它服从怎样的方程呢？,在x 轴上运动的自由粒子的波函数可写为：,其中,是波函数的一部分，只与x有关振幅函数。,（分离变量）,类似于驻波的振幅。,上式为自由粒子的薛定谔方程,在有势力场中运动的粒子（非自由粒子）除有动能Ek外，还有势能U，令,则（21-33）可推广到非自由粒子情形，即,（21-33）,推广到三维空间：,势能为U 的力场中运动粒子的薛定谔方程（1926年）。薛定谔方程是量
12、子力学的基本方程，不能推导，只能验证。,波函数的物理意义：t 时刻在空间（x，y，z）处体积元 dV 内找到粒子的几率与（x，y，z，t）2 dV 成比例：,，对应概率密度。,*t 时刻在（x，y，z）处单位体积中找到粒子的概率，称为概率密度。,如果满足归一化条件，表示 t 时刻，在空间（x，y，z）处单位体积内找到粒子的几率几率密度。,因为在整个空间找到粒子的几率应等于1，故得到：,该式称为归一化条件。,波函数必须满足的条件：单值、连续、有限和归一化条件。,赤铜矿cuprite（Cu2O）中铜与氧的结合,1、金属中,自由电子受力为0。,势能U为常数,可看作为0。,2、金属表面：,U 突然增大
13、(x=0,a)为拐点，,一、势阱模型,21-6 一维无限深势阱,为简单计,设粒子在场 U 中沿x 轴作一维运动。,2、U 满足边界条件：,无限深方形势阱,3、薛定谔方程的解 波函数,经典观点：能量连续,几率相等,量子力学的结果应该如何?,由归一化条件求A：,说明：,3、能量为E 时，粒子在势阱中x处的概率密度：,1、粒子的波函数为驻波形式：,2、粒子的能量是量子化的：,n=1，2，3，,表 明：,薛定谔方程的重要意义：薛定谔方程是量子力学描述微观粒子运动规律的基本方程，由它得出的结果与实验相符合。通过求解薛定谔方程可以得出描述粒子运动状态的波函数。在求解过程中，要考虑波函数必须满足的条件：单值
14、、连续、有限和归一化条件。不必象经典物理那样，人为地提出量子化条件，求解过程中自然得到量子化条件，这是经典物理所无法比拟的。,1。一个质量为m 的粒子约束在长为L 的一维线段上，试由不确定关系估算这个粒子所具有的最小动能。由此计算核内质子和中子的最小动能（原子核半径的数量级为10-14m）。解：由题意知粒子的位置不确定度为L。则由不确定关系得其动量不确定度为：,上式说明，该粒子的最小动量为：,在不考虑相对论效应时，该粒子的最小动能为：,对于核内的质子和中子有m 1.6710-27kg，则,2。设粒子沿x方向运动，波函数,求：（1）归一化常数A；（2）粒子的概率密度按坐标的分布；（3）在何处找到
15、粒子的概率最大？解：（1）根据归一化条件有,由此得归一化常数为,（3）很显然，由上式知x=0处 概率密度最大。此时有：,（2）粒子的概率密度分布为,3 一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为m0，箱子的两个理想反射壁之间的距离为L，若粒子的波函数是,试由薛定谔方程求出粒子能量的表达式。解：该粒子的薛定谔方程为,将 代入可得：,其基态能量为：,4。已知二质点A,B静止质量均为m0，若质点A静止，质点B以6m0c2 的动能向A运动，碰撞后合成一粒子，若无能量释放。求：合成粒子的静止质量。,解：两粒子的能量分别为,由能量守恒，合成后新粒子的总能量,由相对论质能关系,粒子的静止质量,由动量守恒,由题
16、意,由相对论的能量和动量关系,代入得：,5。设康普顿效应中入射X射线（伦琴射线）的波长0=0.0700nm，散射的X射线的波长=0.0720nm，且散射的X射线与入射的X射线垂直。求：1)反冲电子的动能Ek；2)反冲电子运动的方向与入射的X 射线逐渐的夹角。,解：由康普顿公式,所以散射X射线的波长为,1)根据能量守恒定律,反冲电子的动能为,2)根据动量守恒定律,从题图知：,6。一光子的波长与一电子的德布罗意波长皆为0.6nm，此光子的动量Po与电子的动量Pe 之比为多少？光子的动能E0与电子的动能Ee之比为多少？,解：由物质波公式，有电子的动量为,光子的动量为,已知,所以,由相对论能量动量关系，有,对于光子动能为,对于电子动能为,由此说明电子的动能 Ee 很小，可以不考虑相对论效应：,解：设氢原子中的电子在轨道半径为r 的范围内运动，即,7。据不确定度关系估算氢原子的玻尔半径与基态能量值。,根据不确定度关系：,电子动量的不确定范围：,又氢原子基态呈球形对称分布，所以动量的平均值为0，故氢原子中电子的动量值即为动量不确定度P，,氢原子动能：,氢原子势能：,氢原子的总能量：,氢原子基态能量为能量最小值，即：,此时对应的轨道半径r为玻尔半径r0：,氢原子的基态能量为：,
