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1、第十章 无穷级数,1 无穷级数的基本概念,1.无穷级数的概念,2.无穷级数的收敛与发散 给定级数,将前 项之和称为 的前 项部分和,或简称部分和.,定义.若 的部分和序列,当 时,有极限,则称级数 收敛,记称为级数的和;否则称 发散.,3.收敛的必要条件,4.Cauchy收敛原理定理1.2.收敛的充要条件是:当 时,对任意的自然数,.,例3.证明:发散.,5.收敛级数的性质定理1.3.若 收敛,则 收敛.,注.反之不成立.,定理1.4.若 和 都收敛,和分别为,则对任意实数,也收敛,和为.,思考.若 收敛,发散,能否推出 发散?若 发散,也发散,能否推出 发散?,定理1.5.若存在,使得,则
2、与 同时收敛或同时发散.,注.改动一个级数的有限项值,不改变级数的敛散性.,定理1.6.若 收敛,则在保持项的次序不变的条件下,任意加括号所形成的级数也收敛,且其和不变.,注.收敛的级数可以任意加括号,但不能去括号.,注.给定,生成级数,得到它的部分和序列.给定,一定可以找到级数,使得 是 的部分和序列.,例6.讨论等比级数 的敛散性.,2 正项级数,通项非负的级数称为正项级数.设 是正项级数,.单调上升.要么 有上界,要么.,1.正项级数收敛的充要条件,2.比较判别法定理2.1.设 和 是正项级数,且,使得.则(1)如果 收敛,那么 收敛;(2)如果 发散,那么 发散.,例2.证明:当 时,
3、发散;当 时,收敛.,思考题.证明:设 是正项级数,且 单调下降则 收敛的充要条件是:收敛.,例3.讨论下列级数的收敛性(1),(2),定理2.2.(比较判别法的极限形式)设 和 是正项级数,且,又设.则有下列结论(1)当 时,与 同时收敛或 同时发散;(2)当 时,如果 收敛,那么 收敛;(3)当 时,如果 发散,那么 发散.,例4.讨论 的收敛性.,3.Cauchy判别法定理2.3.设 为正项级数.(1)若存在自然数 及,使得 只要，则 收敛;(2)若存在自然数,使得 只要,则 发散.,定理2.4.(Cauchy判别法的极限形式)设 为正项级数,且.则(1)当 时,收敛;(2)当 时,发散
4、;(3)当 时,不能由此法判别收敛性.,例7.讨论 的收敛性.,4.dAlembert判别法定理2.5.设 为正项级数,且.(1)若存在自然数 及,使得 只要，则 收敛;(2)若存在自然数,使得 只要,则 发散.,定理2.6.(dAlembert判别法的极限形式)设 为正项级数,且,又设,.则(1)当 时,收敛;(2)当 时,发散;(3)当 或 时,不能由此法判别收敛性.,推论.设 为正项级数,且,又设.则(1)当 时,收敛;(2)当 时,发散;(3)当 时,不能由此法判别收敛性.,例9.设,讨论 的收敛性.,注.Cauchy判别法比dAlembert判别法适用 范围广.,5.Raabe判别法
5、定理2.7.设 为正项级数,且,又设.则(1)当 时,收敛;(2)当 时,发散;,引理2.1.设,则存在,使得当 时,5.Raabe判别法定理2.7.设 为正项级数,且,又设.则(1)当 时,收敛;(2)当 时,发散;,注.当 时,不能由此法判别收敛性.例如,6.积分判别法定理2.8.设 是正项级数.若存在 上连续非负单调递减函数,满足则 收敛的充要条件是:有界.,3 任意项级数,1.交错级数,定理3.1.(Leibniz判别法)若 满足(1)(2)则(1)收敛,(2)余和的符号与第一项 的符号相同,且,注.满足定理3.1中条件(1),(2)的级数,称为 Leibniz型级数.,2.绝对收敛与
6、条件收敛定义.若 收敛,则称 绝对收敛.若 收敛,但 发散,则称 条件收敛.,3.Abel判别法与Dirichlet判别法 设有两组数 和.令则有Abel变换式,注.Abel变换式也称作分部求和式.,引理3.1.(Abel引理)若 单调,又 的部分和式 有界,即,使得则,定理3.2.(Dirichlet判别法)若(1)单调,且;(2)的部分和有界,即,使得 则 收敛.,注.Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.,定理3.3.(Abel判别法)若(1)单调,且有界,即,使得(2)收敛,则 收敛.,注.Abel判别法可由Dirichlet判别法推出.,例3.若 单调趋于,证明(1)
7、,收敛.,都收敛.,4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 给定.定义显然 和 都是正项级数,并有,注.若 收敛,则要么 和 同时收敛,要么 和 同时发散.,命题3.1.(1)绝对收敛的充要条件是:和 同时收敛,(2)若 条件收敛,则 和 同时发散.,定义.给定级数.设 是一一对应,即 既是单射又是满射.令,并令 称为 的一个重排级数或更序级数.,例5.给定,讨论它的一个重排级数,定理3.4.若 绝对收敛,则它的任何一个重排级数也绝对收敛,且重排不改变原级数的和.,定理3.5.(Riemann定理)若 条件收敛,则,都存在 的一个重排,使得 收敛,且,5.级数的乘法,(1)正方形法,(2)对角线
8、法,(1)正方形法,(2)对角线法,定理3.6.若 与 都绝对收敛,则由 组成的级数,以任意方式排列都绝对收敛,且和为.,注.对按对角线法排列所得级数,适当加上括号,得到级数其中,称 为 和 的Cauchy乘积.,例7.求,4 无穷乘积,1.概念 给定序列,称作无穷乘积.它的前 次之积称作部分乘积.,定义.设 是 的部分乘积.若 有极限,且极限值,则称 收敛.记若 无极限,或,则称 发散.,注.为便于无穷乘积与对应级数的同一性,将 也称作发散.,例3.讨论 收敛性.,2.无穷乘积的性质无穷乘积具有下列性质(1)若 收敛,则.(2)若 收敛,则余积.,(3)若 和 收敛,则 和都收敛,并有,注.由性质(1),若 收敛,则.在今后的讨论中可以假定.,定理4.1.设.则 收敛的充要条件是:收敛.,注.若将 改为,定理4.2结论仍然 成立.,注.若 不保持定号,收敛不能保证 收敛.,3.无穷乘积的绝对收敛和条件收敛定义.给定,.若 收敛,则称 绝对收敛.若 收敛,发散,则称 条件收敛.,定理4.4.设,则下列命题等价(A)绝对收敛(B)绝对收敛(C)绝对收敛,例8.讨论 的绝对收敛性和条件收敛性.,附录,Stirling公式.即,
