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1、弧长与扇形面积、圆锥侧面积【知识详解】知识点1、弧长公式因为360的圆心角所对的孤长就是圆周长C = 2行R,所以1的圆心角所对2ttR即|兀R的孤长是诙谕，于是可得半径为R的圆中，n的圆心角所对的孤长l的1 nirR1 =计算公式：18，说明：（1）在孤长公式中，n表示1的圆心角的倍数，n和180都不带单 位“度”，例如，圆的半径R=10，计算20的圆心角所对的孤长l时，不要错j = x20x10jt写成即。（2）在孤长公式中，已知1，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为日，圆心角为n的扇形面积，显然 扇形的面积是它所在圆的面积的一
2、部分，因为圆心角是360的扇形面积等于圆*的扇形面面积成二所以圆心角为1的扇形面积是3句，由此得圆心角为n 积的计算公式是电表凉。1 _脆R又因为扇形的孤长 1凯到扇形面积的另一个计算公式:竺冬一可以写成i. 扇形面积3602 1和= -IR2所以又得B知识点3、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为1，底面圆的 半径为r，那么这个扇形的半径为1，扇形的孤长为2济，圆锥的侧面积圆锥的全面积&=5申）A说明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面 积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知
3、识点4、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底 面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积$勤=陌，圆柱的全面积唆 啊 底A圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱1图形/j311图形的形成过程由一个直角三角形旋转得 到的，如RtASOA绕直线 SO旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD绕直线AB旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面展开图的特 征扇形矩形面积计算方法编=何1E庵=icri + nr*SB = 2糖E咛=日曲 += Zirrh 4- 2壮补充：知识点5、弓形的面积(1) 弓形的定义：由弦及其所对的弓瓜(包
4、括劣弓瓜、优孤、半圆)组成的图形叫 做弓形。(2) 弓形的周长=弦长+孤长(3) 弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看 出，只要把扇形OAmB的面积和AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的 面积。佥当弓形所含的孤是劣孤时，如图1所示，弓周=膈加心一腿况当弓形所含的孤是优孤时，如图2所示，圣蹬=%跄灿月+$逆昵$ =%当弓形所含的孤是半圆时，如图3所示，弓周 亍半风例：如图所示，。O的半径为2，ZABC = 45，则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)BJ?L分析：由图可知S阴蚩=S麻蹬咨。一&知6由圆周角定理可知/ABC= z AOC，所以ZAO
5、C = 2ZABC = 90，所以 OAC是直角三角形，所以hOAC =-勿.笠=ZC = & OJbtiC =泌=H，所以S阴感=麻感如。-Saoac =兀_邕注意:（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长孤长圆面积扇形面积公式一C= 2nRC = 7ldS = -nR2S = nR2 顼S = 11R2（2）扇形与弓形的联系与区别图 示/fm9面积圣感=S腐感-邕5 抑S弓是=S础+S也【典型4例题】例1.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1,/AOB=120。，则阴 影部分的面积是（）A.牝B.如C.4兀3D. ti分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为光尸-乙/=
6、顼1。-1河=94口。，例2.如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC, BC, AB=10厘米，3tanZBAC=f，求阴影部分的面积。分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90，（2）解直角三 角形的知识（3）组合图形面积的计算。解：因为AB为直径，所以ZACB = 90，3BC在 Rt AABC 中，AB= 10， tan/BAC= 4，而 tanZBAC=兑口设BC = 3k，AC = 4k，（ k不为0，且为正数）由勾股定理得9k2 + 16k2 =100;所以k = NSaAEC = 1x6x8= 24 S 半国=1)2 = 7T所以 BC = 6, AC = 8,
7、坤 N，而仲 N W 225所以疆=标一嚣 = 3兀一羿例3.如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB, 点C, E, D分别在OA, OB及AB弓瓜上，过点A作AFXED交ED的延长线于F,垂 足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为()分析：连接OD,由正方形性质可知ZEOD=ZDOC = 45，在RtAOED中，OD = Jde+de，因为正方形的边长为1,所以OE = DE=1,所以知=由，设两部分阴影的面 积中的一部分为M,另一部分为N,则狄二乌加期-蛰汕/二见诚血晒圭前沁血， 阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部
8、分空 白面积为P,/ BOD = Z DOC5幽恿BCID = S麻唐DCIA，所以M + SgED = P+ aOCDj 所以MciED = AOCD 所以M=P,所以因 为S阴影= M + N = P + N =禄艇xed = S童跄OAFE 一 正枫cicde = QE OA - OE2 = V?- 1例 4.如图所示，直角梯形 ABCD 中，ZB = 90, ADBC, AB = 2, BC = 7, AD =3,以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。D分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和 圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧
9、面积、圆柱的侧面积和底面积三者 之和。解：作DHXBC于H,所以DH=AB = 2CH = BC-BH = BC-AD = 7-3 = 4在CDH 中，CD=JdH+ CH。必所以 =s蝴+S蜘+S底5DHCD +如abad+eab)=4岳+1质例5.已知扇形的圆心角为120，面积为300行平方厘米(1) 求扇形的孤长。(2) 若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少?A由膨=ttR分析：（1）由扇形面积公式360，可得扇形半径R,扇形的孤长可由孤长公式 3如求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴 截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的孤长是这个圆锥的底面圆周长，而
10、圆 周长公式为C = 2r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在RtAADC中求得，所以W = |ad.bc土可求。s =_irR?300tt = 71R2解：（1）设扇形的半径为R，由 毗顼 ，得顼I，解得R= 30.1 = 2L7tR= 1x 30 = 20tt所以扇形的孤长1乱1如（厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC = R=30，BC = 2r，底面圆周 长C = 2打r，因为底面圆周长即为扇形的孤长，所以漏=扪兀所以r=lQ在 RtAADC 中，高 AD=AC2-CD2 =7302-102 = 202所以轴截面面积S. .pr =1aD*BC = 1x2
11、0J2 x 20 = 2002（平方厘米）。【模拟试题】一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是45 ，面积为2口，则这个扇形的半径是A. 4B. 2 克2.扇形的圆心角是60，C. 47口D. 2 逝 口则扇形的面积是所在图面积的（111A. 3B. &C. 91123.扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）180360A. 90B.瓦C.兀D.180()4. 两同心圆的圆心是0,大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， 知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍D. 9倍5. 半圆0的直径为6cm，ZBAC = 30。，则
12、阴影部分的面积是（D.N.已)（劲旦小）羽3B.（初一-齐）澜（3汗一-必KC. 2D. 4A. S =S确定 12B.S1D. SS2的大小关系不6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）A. 2cmB. 3cmC.4cmD. 6cm7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 : 2,这个圆锥的轴截面的顶角是（）A. 30 B. 60 C.90D. 1208. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1 ： 2，则它们的高之比为（）A. 2 : 1B. 3 : 2C. 2 龙:指D. 5： 2“眨9. 如图，在 ABC中，/C =Rt/,
13、 AC BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S（以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2,则二、填空题1. 扇形的弓瓜长是12 口 cm，其圆心角是90 ，则扇形的半径是 cm，扇形的面积是 cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆 心角是.3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为.4 在AABC 中，AB = 3，AC = 4，ZA = 90，把 RtABC 绕直线 AC 旋转一周得 到一个圆锥，其全面积为S ；把RtABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全 面积为S，则S : S =1。5. 一个圆柱形容器的底
14、面直径为2cm，要用一块圆心角为240的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要 有 cm。6. 如图，扇形AOB的圆心角为60，半径为6cm，C，D分别是晶的三等分 点，则阴影部分的面积是。7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半 径画孤，则阴影部分面积为三、计算题1.如图，在RtAABC中，AC = BC，以A为圆心画孤苗、交AB于点D,交AC 延长线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长 度之比（取3）。F2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S，另一个圆锥的侧鱼1面积是S2,如果圆锥和圆柱等底等高，求岛.3. 圆锥的底面半径是R,母线长是3R, M是底面圆周上一点，从点M拉一根 绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度.【试题答案】一、选择题1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B二、填空题1、 24144汗 2、 403、 19cm 4、 3： 4 5、 3 6、 2汗7、 2打-4三、计算题1、连接AE,则&坤一命响=扁跄一既如，所以AC : AF = 3 : 22、跖必3、连接展开图的两个端点MM,即是最短长度。-R利用等量关系得出/MAM=120,/AMD = 30, AD= 2 ,
